Номер 12, страница 217 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

12. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на ..., а радиус равен половине ...

Это утверждение описывает одно из ключевых свойств прямоугольного треугольника, связанное с описанной около него окружностью. Для того чтобы правильно заполнить пропуски, необходимо воспользоваться теоремой о вписанном угле.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который вписан в окружность. Это означает, что все три его вершины лежат на окружности. Прямой угол этого треугольника, равный $90^\circ$, является вписанным углом.

Согласно теореме, вписанный угол, который равен $90^\circ$, всегда опирается на диаметр окружности. Следовательно, сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла, то есть гипотенуза, является диаметром описанной окружности.

Из этого факта следуют два вывода, которые и заполнят пропуски в предложении.

Во-первых, центр любой окружности находится в середине её диаметра. Поскольку гипотенуза является диаметром, то центр описанной окружности лежит на гипотенузе (а именно, в её середине).

Во-вторых, радиус окружности ($R$) по определению равен половине её диаметра ($d$). Так как диаметр в данном случае равен длине гипотенузы ($c$), то радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы. Это можно выразить формулой: $R = \frac{c}{2}$.

Таким образом, полностью утверждение звучит следующим образом: «Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на гипотенузе, а радиус равен половине гипотенузы».

Ответ: Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на гипотенузе, а радиус равен половине гипотенузы.