Номер 4, страница 217 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

4. Синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого угла, косинус тупого угла равен косинусу смежного с ним острого угла, взятому со знаком ... .

Для того чтобы правильно вставить пропущенное слово, необходимо проанализировать тригонометрические свойства смежных углов.

Пусть $\alpha$ — острый угол (то есть $0^\circ < \alpha < 90^\circ$), а $\beta$ — смежный с ним тупой угол (то есть $90^\circ < \beta < 180^\circ$). Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому их связь можно выразить формулой: $\beta = 180^\circ - \alpha$.

Утверждение в задаче состоит из двух частей. Проанализируем каждую из них с помощью формул приведения.

Первая часть: "Синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого угла".
Согласно формуле приведения для синуса: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.
Поскольку $\beta = 180^\circ - \alpha$, мы получаем $\sin(\beta) = \sin(\alpha)$. Это подтверждает верность первой части утверждения. Синусы смежных углов равны.

Вторая часть: "косинус тупого угла равен косинусу смежного с ним острого угла, взятому со знаком ...".
Согласно формуле приведения для косинуса: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Поскольку $\beta = 180^\circ - \alpha$, мы получаем $\cos(\beta) = -\cos(\alpha)$. Это означает, что косинус тупого угла равен косинусу смежного с ним острого угла, умноженному на $-1$, то есть взятому с противоположным знаком.

Таким образом, чтобы утверждение было верным, на месте многоточия должно стоять слово "минус".

Ответ: минус