Номер 40, страница 215 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

40. Площади треугольников с общей высотой относятся как соответствующие ... .

Чтобы правильно завершить утверждение, необходимо обратиться к формуле площади треугольника и проанализировать отношение площадей двух треугольников, обладающих общей высотой.

Пусть у нас есть два треугольника, $T_1$ и $T_2$. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ – это длина основания, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

Обозначим площадь первого треугольника как $S_1$, а его основание, к которому проведена высота, как $a_1$. Обозначим площадь второго треугольника как $S_2$, а его основание – $a_2$. По условию, у этих треугольников общая высота, обозначим ее $h$.

Тогда площади этих треугольников можно записать так:
$S_1 = \frac{1}{2} a_1 h$
$S_2 = \frac{1}{2} a_2 h$

Найдем отношение их площадей, разделив $S_1$ на $S_2$:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} a_1 h}{\frac{1}{2} a_2 h}$

В этом дроби общие множители в числителе и знаменателе, $\frac{1}{2}$ и $h$, сокращаются:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1}{a_2}$

Таким образом, мы доказали, что отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению их оснований, к которым эта высота проведена.

Следовательно, утверждение должно быть завершено словом "основания".

Ответ: основания.