Номер 33, страница 215 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

33. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма ...,

Доказательство параллельности или совпадения биссектрис

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Пусть $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Точка $O$ является центром симметрии параллелограмма.

Центральная симметрия относительно точки $O$ ($S_O$) обладает следующими свойствами:

• Она переводит каждую точку $P$ в точку $P'$ так, что $O$ является серединой отрезка $PP'$.
• Она переводит параллелограмм в себя: $S_O(A) = C$, $S_O(C) = A$, $S_O(B) = D$, $S_O(D) = B$.
• Она переводит любую прямую в параллельную ей прямую. Если прямая проходит через центр симметрии $O$, она переводится в себя.

Рассмотрим угол $\angle DAB$ и его биссектрису $l_A$. При симметрии $S_O$ вершина $A$ переходит в вершину $C$, сторона $AB$ переходит в сторону $CD$, а сторона $AD$ — в сторону $CB$. Следовательно, угол $\angle DAB$ переходит в угол $\angle BCD$.

Поскольку центральная симметрия является движением, она сохраняет углы. Это означает, что образ биссектрисы угла является биссектрисой образа угла. Таким образом, симметрия $S_O$ переводит биссектрису $l_A$ угла $\angle DAB$ в биссектрису $l_C$ угла $\angle BCD$.

Так как при центральной симметрии прямая переходит в параллельную ей прямую, то из того, что $S_O(l_A) = l_C$, следует, что $l_A \parallel l_C$.

Особый случай возникает, когда биссектрисы проходят через центр симметрии $O$. В этом случае они переводятся сами в себя, то есть совпадают. Это происходит, когда параллелограмм является ромбом, и его диагонали являются биссектрисами углов. Совпадающие прямые можно считать частным случаем параллельных прямых.

Таким образом, биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны или совпадают.

Ответ: Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или совпадают.

Нахождение расстояния между биссектрисами

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в котором $AB=a$, $AD=b$, а острый угол $\angle DAB = \alpha$. Найдём расстояние между биссектрисами $l_A$ и $l_C$ углов $A$ и $C$ соответственно. Поскольку эти прямые параллельны, расстояние между ними постоянно. Это расстояние можно найти как расстояние от любой точки на одной прямой до другой прямой. Найдем расстояние от точки $C$ до прямой $l_A$.

Расстояние от точки $P$ до прямой $L$ будем обозначать как $d(P, L)$. Нам нужно найти $d(C, l_A)$. Прямая $l_A$ проходит через вершину $A$.

Воспользуемся свойством векторов в параллелограмме. Если принять вершину $A$ за начало координат, то $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

Расстояние от точки до прямой, проходящей через начало координат, связано с проекцией. В частности, для точек $B$, $D$ и $C$ и прямой $l_A$ (проходящей через $A$), подписанное расстояние от этих точек до $l_A$ связано линейным соотношением: $d_s(C, l_A) = d_s(B, l_A) + d_s(D, l_A)$.

Биссектриса $l_A$ угла $\angle DAB$ делит его на два угла $\alpha/2$. Если стороны $a$ и $b$ не равны, то вершины $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $l_A$. Это значит, что их подписанные расстояния имеют разные знаки. Поэтому искомое расстояние $d(C, l_A)$ будет равно модулю разности расстояний от точек $B$ и $D$ до прямой $l_A$.

Найдем расстояние от точки $B$ до прямой $l_A$. В треугольнике $\triangle ABX$, где $X$ — точка на $l_A$, это высота, опущенная из $B$ на $AX$. Эта высота равна $d(B, l_A) = AB \cdot \sin(\angle BAX) = a \sin(\alpha/2)$.

Аналогично, найдем расстояние от точки $D$ до прямой $l_A$. В треугольнике $\triangle ADY$, где $Y$ — точка на $l_A$, это высота, опущенная из $D$ на $AY$. Эта высота равна $d(D, l_A) = AD \cdot \sin(\angle DAY) = b \sin(\alpha/2)$.

Искомое расстояние между биссектрисами $l_A$ и $l_C$ равно $d(C, l_A)$, которое, как мы установили, равно $|d(B, l_A) - d(D, l_A)|$ (поскольку $B$ и $D$ по разные стороны от $l_A$).

Подставляя найденные значения, получаем:

$d = |a \sin(\alpha/2) - b \sin(\alpha/2)| = |a-b| \sin(\alpha/2)$.

Ответ: Расстояние между биссектрисами равно $|a-b|\sin(\alpha/2)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон параллелограмма, а $\alpha$ — угол между ними.