Номер 9, страница 84 - гдз по физике 8 класс самостоятельные и контрольные работы Шабусов, Дубина

9. Общее сопротивление двух последовательно соединенных резисторов $R_{\text{пос}} = 100 \text{ Ом}$. Если эти резисторы соединить параллельно, их сопротивление будет $R_{\text{пар}} = 24 \text{ Ом}$. Определите сопротивление резистора с большим сопротивлением $R_1$.

Дано:

$R_{пос} = 100 \text{ Ом}$

$R_{пар} = 24 \text{ Ом}$

Найти:

$R_1$ (большее сопротивление)

Решение:

Обозначим сопротивления резисторов как $R_1$ и $R_2$. По условию, нам нужно найти большее из них, пусть это будет $R_1$.

При последовательном соединении резисторов их общее сопротивление равно сумме их сопротивлений:

$R_{пос} = R_1 + R_2$

При параллельном соединении общее сопротивление вычисляется по формуле:

$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Приведя к общему знаменателю, получим:

$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{R_2 + R_1}{R_1 R_2}$, откуда $R_{пар} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

Составим систему уравнений на основе данных задачи:

$ \begin{cases} R_1 + R_2 = 100 \\ \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 24 \end{cases} $

Подставим значение $R_1 + R_2$ из первого уравнения во второе:

$\frac{R_1 R_2}{100} = 24$

Отсюда находим произведение сопротивлений:

$R_1 R_2 = 24 \cdot 100 = 2400$

Теперь у нас есть новая система уравнений:

$ \begin{cases} R_1 + R_2 = 100 \\ R_1 R_2 = 2400 \end{cases} $

Такая система решается с помощью квадратного уравнения. Согласно обратной теореме Виета, $R_1$ и $R_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (R_1 + R_2)x + R_1R_2 = 0$.

Подставим наши значения:

$x^2 - 100x + 2400 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 10000 - 9600 = 400$

$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$

Найдем корни уравнения, которые и будут нашими сопротивлениями:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 + 20}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 - 20}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Итак, сопротивления резисторов равны 60 Ом и 40 Ом.

Согласно условию, нам нужно определить сопротивление резистора с большим сопротивлением $R_1$. Сравнивая полученные значения, $60 \text{ Ом} > 40 \text{ Ом}$.

Следовательно, $R_1 = 60 \text{ Ом}$.

Ответ: $R_1 = 60 \text{ Ом}$.