Номер 10, страница 63 - гдз по физике 8 класс самостоятельные и контрольные работы Шабусов, Дубина

10. Алиса находится вблизи двух зеркал, угол между которыми $\varphi = 120^\circ$. Расстояние от Алисы до плоскости каждого зеркала $l = 4,2$ м. Определите расстояние $\text{L}$ между двумя первыми изображениями Алисы. Размерами Алисы можно пренебречь.

Ответ: ______ м.

Дано:

Угол между зеркалами, $ \varphi = 120^\circ $

Расстояние от Алисы до плоскости каждого зеркала, $ l = 4,2 $ м

Найти:

Расстояние между двумя первыми изображениями, $ L $

Решение:

Обозначим положение Алисы точкой $\text{A}$. Пусть зеркала $M_1$ и $M_2$ пересекаются под углом $ \varphi $. Первое изображение Алисы в зеркале $M_1$ обозначим $A_1$, а в зеркале $M_2$ — $A_2$. Нам нужно найти расстояние $\text{L}$ между точками $A_1$ и $A_2$.

Изображение в плоском зеркале является мнимым и находится на таком же расстоянии за зеркалом, на каком предмет находится перед ним. Линия, соединяющая предмет и его изображение, перпендикулярна плоскости зеркала.

Таким образом, расстояние от Алисы ($\text{A}$) до её изображения ($A_1$) в первом зеркале равно $AA_1 = 2l$, так как отрезок $AA_1$ перпендикулярен зеркалу $M_1$.

Аналогично, расстояние от Алисы ($\text{A}$) до её изображения ($A_2$) во втором зеркале равно $AA_2 = 2l$, и отрезок $AA_2$ перпендикулярен зеркалу $M_2$.

Рассмотрим треугольник $ \triangle AA_1A_2 $, образованный положением Алисы и двумя её первыми изображениями. Мы знаем длины двух сторон этого треугольника: $AA_1 = 2l$ и $AA_2 = 2l$. Чтобы найти длину третьей стороны $A_1A_2 = L$, нам нужно найти угол между известными сторонами, то есть $ \angle A_1AA_2 $.

Поскольку отрезок $AA_1$ перпендикулярен зеркалу $M_1$, а отрезок $AA_2$ перпендикулярен зеркалу $M_2$, угол между этими отрезками связан с углом между зеркалами $ \varphi $. Угол между двумя прямыми равен углу между их нормалями (перпендикулярами). Если угол между зеркалами равен $ \varphi $, то угол между нормалями к ним равен $ \varphi $ или $ 180^\circ - \varphi $. В данном случае, так как $ \varphi = 120^\circ $ (тупой угол), угол между нормалями будет острым: $ \angle A_1AA_2 = 180^\circ - \varphi $.

$ \angle A_1AA_2 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.

Таким образом, треугольник $ \triangle AA_1A_2 $ является равнобедренным ($AA_1 = AA_2 = 2l$) с углом при вершине $\text{A}$, равным $60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ является равносторонним.

Следовательно, все его стороны равны:

$ L = A_1A_2 = AA_1 = AA_2 = 2l $.

Теперь можем вычислить искомое расстояние $\text{L}$:

$ L = 2 \cdot l = 2 \cdot 4,2 \text{ м} = 8,4 \text{ м} $.

Ответ: $8,4$ м.