номер 7, страница 81 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

7.Чтобы удержать ящик в покое на наклонной плоскости, необходимо приложить к нему минимальную силу, модуль которой $F_1 = 50 \text{ Н}$. Для равномерного подъёма ящика по этой же плоскости необходимо приложить минимальную силу, модуль которой $F_2 = 110 \text{ Н}$. Определите массу ящика, если угол между горизонтом и наклонной плоскостью $\alpha = 30^\circ$.

7.Чтобы удержать ящик в покое на наклонной плоскости, необходимо приложить к нему минимальную силу, модуль которой $F_1 = 50\text{ Н}$. Для равномерного подъёма ящика по этой же плоскости необходимо приложить минимальную силу, модуль которой $F_2 = 110\text{ Н}$. Определите массу ящика, если угол между горизонтом и наклонной плоскостью $\alpha = 30^\circ$.

Дано:
$F_1 = 50\text{ Н}$
$F_2 = 110\text{ Н}$
$\alpha = 30^\circ$
$g \approx 10\text{ м/с}^2$
Найти: $m$

Решение:

В подобных классических школьных задачах удерживающая и тянущая силы прикладываются вдоль наклонной плоскости (рисунок справа с горизонтальной силой $\vec{F}$ относится к задаче 8).

Направим координатную ось $Ox$ вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $Oy$ — перпендикулярно плоскости вверх. На ящик действуют: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, внешняя сила $\vec{F}$ и сила трения $\vec{F}_{\text{тр}}$.

По перпендикулярной оси $Oy$ движения нет, поэтому:
$$N = mg \cos\alpha$$
Максимальная сила трения покоя равна силе трения скольжения: $F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$.

Рассмотрим два случая движения вдоль оси $Ox$:

1. Удержание ящика от соскальзывания:
Чтобы удерживающая сила $F_1$ была минимальной, ящик должен находиться на грани соскальзывания вниз. В этом случае максимальная сила трения покоя направлена вверх вдоль наклонной плоскости, препятствуя соскальзыванию:
$$F_1 + F_{\text{тр}} - mg \sin\alpha = 0 \implies F_1 = mg \sin\alpha - F_{\text{тр}}$$

2. Равномерный подъём ящика вверх:
При подъёме ящика вверх сила трения направлена против движения — вниз вдоль плоскости. По первому закону Ньютона:
$$F_2 - F_{\text{тр}} - mg \sin\alpha = 0 \implies F_2 = mg \sin\alpha + F_{\text{тр}}$$

Сложим уравнения для обоих случаев, чтобы исключить неизвестную силу трения:
$$F_1 + F_2 = (mg \sin\alpha - F_{\text{тр}}) + (mg \sin\alpha + F_{\text{тр}})$$
$$F_1 + F_2 = 2mg \sin\alpha$$

Выразим массу ящика $m$:
$$m = \frac{F_1 + F_2}{2g \sin\alpha}$$

Подставим числовые значения:
$$m = \frac{50\text{ Н} + 110\text{ Н}}{2 \cdot 10\text{ м/с}^2 \cdot \sin 30^\circ} = \frac{160}{20 \cdot 0{,}5} = \frac{160}{10} = 16\text{ кг}$$

(Примечание: если использовать точное значение ускорения свободного падения $g = 9{,}8\text{ м/с}^2$, масса составит $m = \frac{160}{2 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}5} \approx 16{,}3\text{ кг}$).

Ответ: $16\text{ кг}$ (или $16{,}3\text{ кг}$ при $g = 9{,}8\text{ м/с}^2$)