номер 6, страница 81 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

6.«Минск-арена» — один из крупнейших высокотехнологичных культурно-спортивных комплексов Республики Беларусь, включающий конькобежный стадион (рис. 113). Определите модуль скорости, с которой движется конькобежец на повороте ледовой дорожки стадиона, если он отклоняется от вертикали на угол $\alpha = 30^\circ$, а радиус поворота дорожки $R = 30 \text{ м}$.

Дано:
$\alpha = 30^\circ$
$R = 30\text{ м}$
$g = 9{,}8\text{ м/с}^2$
Найти: $v$

Решение:
При движении по закруглению ледовой дорожки конькобежец движется по окружности радиусом $R$ с центростремительным ускорением $a_{\text{цс}} = \frac{v^2}{R}$, направленным горизонтально к центру окружности.

На спортсмена действуют две силы:
1) сила тяжести $\vec{F}_{\text{т}} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз;
2) полная сила реакции опоры со стороны льда $\vec{N}$ (включающая нормальную реакцию и силу трения удержания конька от бокового соскальзывания), направленная вдоль тела конькобежца под углом $\alpha$ к вертикали.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
$$m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a}_{\text{цс}}$$

Спроецируем уравнение на координатные оси:
на вертикальную ось $Oy$: $N \cos\alpha - mg = 0 \implies N \cos\alpha = mg$;
на горизонтальную ось $Ox$, направленную к центру поворота: $N \sin\alpha = m a_{\text{цс}} \implies N \sin\alpha = \frac{m v^2}{R}$.

Разделим горизонтальное уравнение на вертикальное:
$$\frac{N \sin\alpha}{N \cos\alpha} = \frac{\frac{m v^2}{R}}{mg}$$
$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{v^2}{gR}$$

Выразим скорость $v$:
$$v = \sqrt{g R \operatorname{tg}\alpha}$$

Подставим числовые значения:
$$v = \sqrt{9{,}8\text{ м/с}^2 \cdot 30\text{ м} \cdot \operatorname{tg} 30^\circ} = \sqrt{294 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \approx \sqrt{294 \cdot 0{,}577} \approx \sqrt{169{,}7} \approx 13\text{ м/с}$$

Ответ: $v \approx 13\text{ м/с}$ (или приблизительно $47\text{ км/ч}$).