номер 8, страница 81 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

8.На гладкой наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 30^\circ$ (рис. 114) находится брусок массой $m = 5,0$ кг, на который действует горизонтальная сила, модуль которой $F = 15$ Н. Определите модули ускорения и силы давления бруска на плоскость.

Дано:
$\alpha = 30^\circ$
$m = 5{,}0\text{ кг}$
$F = 15\text{ Н}$
$g \approx 10\text{ м/с}^2$
Поверхность гладкая (трение отсутствует, $\mu = 0$)

Найти:
$a$ — модуль ускорения бруска;
$F_{\text{д}}$ — модуль силы давления бруска на плоскость.

Решение:

На брусок действуют три силы:

• сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз;
• сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости вверх;
• внешняя горизонтальная сила $\vec{F}$, направленная влево.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
$$m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}$$

Выберем систему координат:

• ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости вниз;
• ось $Oy$ направим перпендикулярно наклонной плоскости вверх.

Спроецируем силы на координатные оси:

• Сила тяжести $m\vec{g}$: $mg_x = mg \sin\alpha$, $mg_y = -mg \cos\alpha$.
• Сила реакции опоры $\vec{N}$: $N_x = 0$, $N_y = N$.
• Горизонтальная сила $\vec{F}$: так как наклонная плоскость направлена вниз-влево под углом $\alpha$ к горизонту, угол между вектором $\vec{F}$ и осью $Ox$ равен $\alpha$. Следовательно: $F_x = F \cos\alpha$, $F_y = F \sin\alpha$.

Запишем уравнения в проекциях на оси:

1. На ось $Ox$:
$$ma = mg \sin\alpha + F \cos\alpha$$ Отсюда выразим ускорение $a$: $$a = g \sin\alpha + \frac{F}{m} \cos\alpha$$

Подставим числовые значения:
$$a = 10 \cdot \sin 30^\circ + \frac{15}{5{,}0} \cdot \cos 30^\circ = 10 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5 + 3 \cdot 0{,}866 = 5 + 2{,}6 = 7{,}6\text{ м/с}^2$$(при расчете с $g = 9{,}8\text{ м/с}^2$: $a = 9{,}8 \cdot 0{,}5 + 2{,}6 = 7{,}5\text{ м/с}^2$)

2. На ось $Oy$:
Движение вдоль оси $Oy$ отсутствует, поэтому ускорение $a_y = 0$: $$N + F \sin\alpha - mg \cos\alpha = 0$$ Отсюда выразим силу реакции опоры $N$: $$N = mg \cos\alpha - F \sin\alpha$$

По третьему закону Ньютона сила давления бруска на плоскость $F_{\text{д}}$ равна по модулю силе нормальной реакции опоры $N$ ($F_{\text{д}} = N$):

$$F_{\text{д}} = mg \cos\alpha - F \sin\alpha$$ Вычислим значение:
$$F_{\text{д}} = 5{,}0 \cdot 10 \cdot \cos 30^\circ - 15 \cdot \sin 30^\circ = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 15 \cdot 0{,}5 \approx 50 \cdot 0{,}866 - 7{,}5 = 43{,}3 - 7{,}5 = 35{,}8\text{ Н}$$(при расчете с $g = 9{,}8\text{ м/с}^2$: $F_{\text{д}} = 49 \cdot 0{,}866 - 7{,}5 \approx 42{,}4 - 7{,}5 \approx 34{,}9\text{ Н} \approx 35\text{ Н}$)

Ответ: $a \approx 7{,}6\text{ м/с}^2$ (или $7{,}5\text{ м/с}^2$); $F_{\text{д}} \approx 36\text{ Н}$ (или $35\text{ Н}$).