Номер 10, страница 65 - гдз по физике 7 класс самостоятельные и контрольные работы Шабусов

10. Алиса радостно бежала в школу со скоростью $v_1 = 2,60 \frac{\text{M}}{\text{c}}$. Но возле школы она вспомнила, что сегодня воскресенье, и грустно пошла домой со скоростью $v_2 = 1,40 \frac{\text{M}}{\text{c}}$. Определите среднюю скорость Алисы $\langle v \rangle$.

Дано:

$v_1 = 2,60 \, \frac{м}{с}$

$v_2 = 1,40 \, \frac{м}{с}$

Найти:

$\langle v \rangle$

Решение:

Средняя скорость $\langle v \rangle$ (в данном случае, средняя путевая скорость) определяется как отношение всего пройденного пути $S_{общ}$ ко всему затраченному времени $t_{общ}$.

$\langle v \rangle = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Обозначим расстояние от дома Алисы до школы как $\text{S}$. Алиса пробежала это расстояние до школы, а затем прошла такое же расстояние обратно домой. Следовательно, общий путь, который она преодолела, равен:

$S_{общ} = S + S = 2S$

Время, которое Алиса затратила на путь до школы, двигаясь со скоростью $v_1$, составляет:

$t_1 = \frac{S}{v_1}$

Время, которое она затратила на обратный путь домой, двигаясь со скоростью $v_2$, составляет:

$t_2 = \frac{S}{v_2}$

Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времени движения туда и обратно:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{v_1} + \frac{S}{v_2}$

Теперь мы можем подставить выражения для общего пути и общего времени в формулу для средней скорости:

$\langle v \rangle = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2S}{\frac{S}{v_1} + \frac{S}{v_2}}$

В данном выражении расстояние $\text{S}$ можно сократить, так как оно присутствует и в числителе, и в каждом слагаемом знаменателя:

$\langle v \rangle = \frac{2}{S(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2})/S} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$

Для удобства вычислений приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:

$\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}$

Подставив это обратно в формулу для средней скорости, получим:

$\langle v \rangle = \frac{2}{\frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Эта формула представляет собой среднее гармоническое двух скоростей и используется, когда тело проходит равные участки пути с разными скоростями.

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$\langle v \rangle = \frac{2 \cdot 2,60 \, \frac{м}{с} \cdot 1,40 \, \frac{м}{с}}{2,60 \, \frac{м}{с} + 1,40 \, \frac{м}{с}} = \frac{7,28 \, \frac{м^2}{с^2}}{4,00 \, \frac{м}{с}} = 1,82 \, \frac{м}{с}$

Ответ: средняя скорость Алисы составляет $1,82 \, \frac{м}{с}$.