Номер 10, страница 76 - гдз по физике 7 класс самостоятельные и контрольные работы Шабусов

10. В одно колено сообщающихся сосудов с водой ($\rho_1 = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$) налили керосин ($\rho_2 = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$). Уровень керосина выше уровня воды на $\Delta h = 10 \text{ см}$. Найдите высоту столба керосина $h_2$.

Дано:

$ \rho_1 = 1000 \frac{кг}{м^3} $ (плотность воды)

$ \rho_2 = 800 \frac{кг}{м^3} $ (плотность керосина)

$ \Delta h = 10 $ см

Перевод в систему СИ:

$ \Delta h = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м} $

Найти:

$ h_2 $ - высоту столба керосина.

Решение:

В сообщающихся сосудах давление на любом горизонтальном уровне в покоящейся однородной жидкости одинаково. Выберем в качестве уровня отсчета границу раздела двух жидкостей (воды и керосина). Пусть $ h_1 $ - высота столба воды в одном колене над этим уровнем, а $ h_2 $ - высота столба керосина в другом колене над этим же уровнем.

Давление, создаваемое столбом воды, равно $ p_1 = \rho_1 g h_1 $, а давление, создаваемое столбом керосина, равно $ p_2 = \rho_2 g h_2 $. Так как на уровне раздела жидкости находятся в равновесии, эти давления равны:

$ p_1 = p_2 $

$ \rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2 $

Сократив на $\text{g}$ (ускорение свободного падения), получим:

$ \rho_1 h_1 = \rho_2 h_2 $ (1)

Согласно условию задачи, уровень керосина выше уровня воды на $ \Delta h $. Это означает, что разность высот столбов керосина и воды равна $ \Delta h $:

$ h_2 - h_1 = \Delta h $ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $ h_1 $ и $ h_2 $. Нам нужно найти $ h_2 $.

Из второго уравнения выразим $ h_1 $:

$ h_1 = h_2 - \Delta h $

Подставим это выражение для $ h_1 $ в первое уравнение:

$ \rho_1 (h_2 - \Delta h) = \rho_2 h_2 $

Раскроем скобки:

$ \rho_1 h_2 - \rho_1 \Delta h = \rho_2 h_2 $

Сгруппируем слагаемые, содержащие $ h_2 $:

$ \rho_1 h_2 - \rho_2 h_2 = \rho_1 \Delta h $

$ h_2 (\rho_1 - \rho_2) = \rho_1 \Delta h $

Выразим искомую высоту столба керосина $ h_2 $:

$ h_2 = \frac{\rho_1 \Delta h}{\rho_1 - \rho_2} $

Подставим числовые значения из условия задачи:

$ h_2 = \frac{1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.1 \text{ м}}{1000 \frac{кг}{м^3} - 800 \frac{кг}{м^3}} = \frac{100}{200} \text{ м} = 0.5 \text{ м} $

Переведем результат в сантиметры:

$ 0.5 \text{ м} = 50 \text{ см} $

Ответ: высота столба керосина $ h_2 = 50 $ см.