Номер 8, страница 76 - гдз по физике 7 класс самостоятельные и контрольные работы Шабусов

8. В цилиндрическом сосуде высотой $h = 60$ см находятся вода ($\rho_1=1,0\frac{\text{г}}{\text{см}^3}$) и керосин ($\rho_2=0,80\frac{\text{г}}{\text{см}^3}$), заполнив его доверху. Определите гидростатическое давление на дно сосуда, если объем воды в 2 раза меньше объема керосина.

Дано:

Высота сосуда, $h = 60 \text{ см}$
Плотность воды, $\rho_1 = 1,0 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$
Плотность керосина, $\rho_2 = 0,80 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$
Соотношение объемов, $V_2 = 2 V_1$

$h = 0,6 \text{ м}$
$\rho_1 = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
$\rho_2 = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Гидростатическое давление на дно сосуда, $\text{p}$.

Решение:

Поскольку плотность воды ($\rho_1 = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$) больше плотности керосина ($\rho_2 = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$), вода будет находиться в нижнем слое, а керосин — в верхнем. Эти жидкости не смешиваются.

Общее гидростатическое давление на дно сосуда складывается из давления столба воды ($p_1$) и давления столба керосина ($p_2$):

$p = p_1 + p_2$

Давление, создаваемое столбом жидкости, вычисляется по формуле $p_{\text{жидкости}} = \rho \cdot g \cdot h_{\text{жидкости}}$, где $h_{\text{жидкости}}$ — высота столба жидкости. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$.

Таким образом, общая формула для давления:

$p = \rho_1 \cdot g \cdot h_1 + \rho_2 \cdot g \cdot h_2 = g (\rho_1 h_1 + \rho_2 h_2)$

Здесь $h_1$ и $h_2$ — высоты столбов воды и керосина соответственно. Сумма их высот равна общей высоте сосуда:

$h_1 + h_2 = h$

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде равен произведению площади основания $\text{S}$ на высоту столба жидкости: $V = S \cdot h_{\text{жидкости}}$. По условию задачи, объем керосина в 2 раза меньше объема воды:

$V_2 = 2 V_1$

Подставим формулу объема:

$S \cdot h_2 = 2 \cdot (S \cdot h_1)$

Площадь основания $\text{S}$ одинакова для обоих слоев, поэтому ее можно сократить, получив соотношение высот:

$h_2 = 2 h_1$

Теперь решим систему из двух уравнений:

$h_1 + h_2 = h$

$h_2 = 2 h_1$

Подставим второе уравнение в первое:

$h_1 + 2 h_1 = h$

$3 h_1 = h$

$h_1 = \frac{h}{3} = \frac{0,6 \text{ м}}{3} = 0,2 \text{ м}$

Теперь найдем высоту столба керосина:

$h_2 = 2 h_1 = 2 \cdot 0,2 \text{ м} = 0,4 \text{ м}$

Высоты столбов найдены. Рассчитаем общее давление на дно сосуда:

$p = 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot (1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,2 \text{ м} + 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,4 \text{ м})$

$p = 10 \cdot (200 + 320) = 10 \cdot 520 = 5200 \text{ Па}$

Переведем результат в килопаскали:

$5200 \text{ Па} = 5,2 \text{ кПа}$

Ответ: гидростатическое давление на дно сосуда равно $5200 \text{ Па}$ (или $5,2 \text{ кПа}$).