Номер 415, страница 78 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Дано:

Три одинаковых резистора, сопротивление каждого равно $\text{R}$.

Найти:

Количество электрических цепей с различными общими сопротивлениями; схемы этих цепей.

Решение:

Существует четыре основных способа соединения трех резисторов, которые дают различные значения общего сопротивления. Рассмотрим каждый из них.

1. Последовательное соединение

В этом случае все три резистора соединяются друг за другом в одну цепь. Общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений каждого резистора.

Схема:

┌─[ R ]─[ R ]─[ R ]─┐

Общее сопротивление $R_{общ1}$ рассчитывается по формуле:

$R_{общ1} = R + R + R = 3R$

2. Параллельное соединение

В этом случае все три резистора подключаются к одной и той же паре точек (узлов), то есть параллельно друг другу. Величина, обратная общему сопротивлению, равна сумме обратных величин сопротивлений каждого резистора.

Схема:

┌───[ R ]───┐

───┤───[ R ]───├───

└───[ R ]───┘

Расчет общего сопротивления $R_{общ2}$:

$\frac{1}{R_{общ2}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$

Отсюда находим общее сопротивление:

$R_{общ2} = \frac{R}{3}$

3. Смешанное соединение (два параллельно, один последовательно)

В этой конфигурации два резистора соединены параллельно, а третий резистор соединен последовательно с этой параллельной группой.

Схема:

┌───[ R ]───┐

───┤ ├───[ R ]───

└───[ R ]───┘

Сначала найдем сопротивление параллельного участка ($R_{п}$), состоящего из двух резисторов:

$\frac{1}{R_{п}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R} \Rightarrow R_{п} = \frac{R}{2}$

Затем, поскольку третий резистор соединен последовательно с этим участком, общее сопротивление $R_{общ3}$ будет равно сумме их сопротивлений:

$R_{общ3} = R_{п} + R = \frac{R}{2} + R = \frac{3R}{2} = 1.5R$

4. Смешанное соединение (два последовательно, один параллельно)

В этой конфигурации два резистора соединены последовательно, и эта группа подключена параллельно третьему резистору.

Схема:

┌───[ R ]───[ R ]───┐

───┤ ├───

└──────[ R ]───────┘

Сначала найдем сопротивление последовательного участка ($R_{с}$), состоящего из двух резисторов:

$R_{с} = R + R = 2R$

Теперь эта группа ($R_{с}$) подключена параллельно третьему резистору. Общее сопротивление $R_{общ4}$ находится по формуле для параллельного соединения:

$\frac{1}{R_{общ4}} = \frac{1}{R_{с}} + \frac{1}{R} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{R} = \frac{1 + 2}{2R} = \frac{3}{2R}$

Отсюда находим общее сопротивление:

$R_{общ4} = \frac{2R}{3}$

Мы получили четыре различных значения сопротивления: $\text{3R}$, $R/3$, $3R/2$ и $2R/3$. Других топологически различных способов соединения трех двухполюсных элементов не существует.

Ответ: Можно получить 4 электрические цепи с различными сопротивлениями. Схемы и соответствующие общие сопротивления описаны в решении.