Номер 455, страница 87 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Дано:

Общее сопротивление при параллельном соединении $R_{пар} = 24 \text{ Ом}$

Общее сопротивление при последовательном соединении $R_{пос} = 100 \text{ Ом}$

Найти:

Сопротивления каждого резистора $R_1$ и $R_2$.

Решение:

Обозначим сопротивления двух резисторов как $R_1$ и $R_2$.

При последовательном соединении общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных резисторов:

$R_{пос} = R_1 + R_2$

При параллельном соединении величина, обратная общему сопротивлению, равна сумме величин, обратных сопротивлениям каждого резистора:

$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Эту формулу можно преобразовать к виду:

$R_{пар} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Подставим известные значения в эти формулы и получим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} R_1 + R_2 = 100 \\ \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = 24 \end{cases}$

Подставим значение $R_1 + R_2$ из первого уравнения во второе:

$\frac{R_1 \cdot R_2}{100} = 24$

Отсюда находим произведение сопротивлений:

$R_1 \cdot R_2 = 24 \cdot 100 = 2400$

Теперь у нас есть система уравнений, которую можно решить:

$\begin{cases} R_1 + R_2 = 100 \\ R_1 \cdot R_2 = 2400 \end{cases}$

Выразим $R_2$ из первого уравнения: $R_2 = 100 - R_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$R_1 \cdot (100 - R_1) = 2400$

$100 R_1 - R_1^2 = 2400$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$R_1^2 - 100 R_1 + 2400 = 0$

Решим это уравнение относительно $R_1$, используя формулу для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант $\text{D}$:

$D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 10000 - 9600 = 400$

Найдем корни уравнения:

$R_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 + \sqrt{400}}{2} = \frac{100 + 20}{2} = \frac{120}{2} = 60 \text{ Ом}$

$R_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 - \sqrt{400}}{2} = \frac{100 - 20}{2} = \frac{80}{2} = 40 \text{ Ом}$

Мы получили два возможных значения для $R_1$. Если $R_1 = 60 \text{ Ом}$, то $R_2 = 100 - 60 = 40 \text{ Ом}$.

Если $R_1 = 40 \text{ Ом}$, то $R_2 = 100 - 40 = 60 \text{ Ом}$.

В обоих случаях мы получаем одну и ту же пару сопротивлений.

Ответ: Сопротивления резисторов равны 40 Ом и 60 Ом.