Номер 683, страница 124 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Дано:

Собирающая тонкая линза с фокусным расстоянием $\text{F}$.
Изображение действительное.

Найти:

$\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, при котором расстояние $\text{L}$ от предмета до его действительного изображения будет наименьшим.

Решение:

Воспользуемся формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

где $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы, $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения.

Расстояние от предмета до его действительного изображения $\text{L}$ равно сумме расстояния от предмета до линзы и от линзы до изображения:

$L = d + f$

Поскольку изображение действительное, оно находится по другую сторону от линзы, и $f > 0$. Из формулы тонкой линзы выразим $\text{f}$:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{dF}$

$f = \frac{dF}{d - F}$

Условие $f > 0$ для собирающей линзы ($F > 0$) выполняется, если $d - F > 0$, то есть $d > F$. Это означает, что для получения действительного изображения предмет должен находиться за фокусом линзы.

Теперь подставим выражение для $\text{f}$ в формулу для $\text{L}$, чтобы получить зависимость расстояния между предметом и изображением от расстояния $\text{d}$:

$L(d) = d + \frac{dF}{d - F}$

Чтобы найти наименьшее значение $\text{L}$, нужно найти минимум функции $L(d)$. Для этого найдем её производную по $\text{d}$ и приравняем к нулю:

$L'(d) = \frac{d}{dd} \left( d + \frac{dF}{d - F} \right) = 1 + \frac{F(d - F) - dF(1)}{(d - F)^2} = 1 + \frac{dF - F^2 - dF}{(d - F)^2} = 1 - \frac{F^2}{(d - F)^2}$

Приравняем производную к нулю:

$1 - \frac{F^2}{(d - F)^2} = 0$

$\frac{F^2}{(d - F)^2} = 1$

$(d - F)^2 = F^2$

$d - F = \pm F$

Это дает два возможных решения:

1) $d - F = F \implies d = 2F$

2) $d - F = -F \implies d = 0$

Решение $d=0$ не имеет физического смысла, а также не удовлетворяет условию $d > F$. Решение $d = 2F$ удовлетворяет этому условию.

Чтобы убедиться, что при $d = 2F$ достигается именно минимум, а не максимум, найдем вторую производную функции $L(d)$:

$L''(d) = \frac{d}{dd} \left( 1 - F^2(d - F)^{-2} \right) = -F^2(-2)(d-F)^{-3} = \frac{2F^2}{(d-F)^3}$

При $d = 2F$:

$L''(2F) = \frac{2F^2}{(2F-F)^3} = \frac{2F^2}{F^3} = \frac{2}{F}$

Поскольку для собирающей линзы $F > 0$, вторая производная $L''(2F) > 0$. Это означает, что в точке $d = 2F$ функция $L(d)$ имеет минимум.

При $d=2F$ расстояние до изображения $f = \frac{2F \cdot F}{2F - F} = \frac{2F^2}{F} = 2F$.

Минимальное расстояние между предметом и изображением будет $L_{min} = d + f = 2F + 2F = 4F$.

Таким образом, чтобы расстояние от предмета до его действительного изображения было наименьшим, предмет необходимо поместить на расстоянии, равном удвоенному фокусному расстоянию линзы.

Ответ: Предмет надо поместить на расстоянии, равном двум фокусным расстояниям линзы ($d = 2F$).