номер 3, страница 146 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

3. Из круглой однородной пластинки радиусом $R$ с центром в точке $O$ вырезан круг радиусом $0,5R$. На каком расстоянии от точки $O$ находится центр тяжести пластинки с вырезом, если центр вырезанного круга находится на расстоянии $0,5R$ от точки $O$?

3.Из круглой однородной пластинки радиусом $R$ с центром в точке $O$ вырезан круг радиусом $0,5R$. На каком расстоянии от точки $O$ находится центр тяжести пластинки с вырезом, если центр вырезанного круга находится на расстоянии $0,5R$ от точки $O$?

Дано:
Радиус пластинки: $R_0 = R$
Радиус вырезанного круга: $r = 0,5R$
Положение центра вырезанного круга: $x_1 = 0,5R$
Положение центра сплошной пластинки: $x_0 = 0$

Найти: расстояние $d = |x_2|$ от центра пластинки $O$ до центра тяжести оставшейся части.

Решение:

Пластинка является однородной и имеет одинаковую толщину по всей площади, следовательно, масса любой ее части прямо пропорциональна ее площади (формула связи массы и площади: $m = \rho \cdot h \cdot S$).

1. Найдем площади и массы частей пластинки:

• Площадь исходной сплошной пластинки:
  $$S_0 = \pi R^2$$ Пусть ее масса равна $M$.
• Площадь вырезанной круглой части:
  $$S_1 = \pi r^2 = \pi (0,5R)^2 = 0,25 \pi R^2 = \frac{1}{4} S_0$$ Следовательно, масса вырезанного круга составляет $m_1 = \frac{1}{4}M$.
• Масса оставшейся части пластинки с вырезом:
  $$m_2 = M - m_1 = M - \frac{1}{4}M = \frac{3}{4}M$$

2. Введем координатную ось $Ox$, направленную вдоль прямой, проходящей через центр пластинки $O$ и центр вырезанного круга $O_1$. Начало координат поместим в точку $O$ (то есть $x_0 = 0$).

Тогда координата центра тяжести вырезанного круга равна $x_1 = 0,5R = \frac{R}{2}$.

3. Целую круглую пластинку можно рассматривать как систему, состоящую из двух тел: пластинки с отверстием массой $m_2$ и вырезанного круга массой $m_1$. Центр тяжести всей системы находится в точке $O$ с координатой $x_0 = 0$.

Запишем формулу для координаты центра тяжести системы тел:

$$x_0 = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$$

Так как $x_0 = 0$, числитель дроби должен быть равен нулю:

$$m_1 x_1 + m_2 x_2 = 0$$

Подставим значения масс и координаты $x_1$ в полученное уравнение:

$$\frac{1}{4}M \cdot \frac{R}{2} + \frac{3}{4}M \cdot x_2 = 0$$

Разделим обе части уравнения на общую массу $M$:

$$\frac{R}{8} + \frac{3}{4}x_2 = 0$$

Выразим $x_2$:

$$\frac{3}{4}x_2 = -\frac{R}{8}$$

$$x_2 = -\frac{R}{8} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{R}{6}$$

Знак «минус» показывает, что центр тяжести сместился в противоположную сторону от выреза. Расстояние от точки $O$ до центра тяжести равно модулю этой координаты: $d = |x_2| = \frac{R}{6} \approx 0,17R$.

Ответ: центр тяжести пластинки с вырезом находится на расстоянии $\frac{R}{6}$ (или приблизительно $0,17R$) от точки $O$ в сторону, противоположную вырезу.