номер 2, страница 146 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

2.Одна половина прямоугольного бруска длиной $l = 20 \text{ см}$ состоит из меди, другая — из алюминия. Определите положение центра тяжести бруска. Плотность меди $\rho_\text{м} = 8,9 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$, алюминия $\rho_\text{ал} = 2,7 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$.

2.Одна половина прямоугольного бруска длиной $l = 20\text{ см}$ состоит из меди, другая — из алюминия. Определите положение центра тяжести бруска. Плотность меди $\rho_{\text{м}} = 8{,}9\text{ г/см}^3$, алюминия $\rho_{\text{ал}} = 2{,}7\text{ г/см}^3$.

Дано:
$l = 20\text{ см}$
$l_1 = l_2 = \frac{l}{2} = 10\text{ см}$
$\rho_{\text{м}} = 8{,}9\text{ г/см}^3$
$\rho_{\text{ал}} = 2{,}7\text{ г/см}^3$

Найти: $x_c$

Решение:

Пусть брусок расположен вдоль оси $Ox$, а начало координат $x = 0$ находится на внешнем торце медной половины.

Так как брусок правильной геометрической формы и имеет постоянное поперечное сечение $S$, объём каждой из половин равен: $$V_1 = V_2 = V = S \cdot \frac{l}{2}$$

Массы медной и алюминиевой половин соответственно равны: $$m_{\text{м}} = \rho_{\text{м}} V$$ $$m_{\text{ал}} = \rho_{\text{ал}} V$$

Центры тяжести каждой из однородных половин находятся в их геометрических центрах:
— для медной части: $x_1 = \frac{l_1}{2} = 5\text{ см}$ (середина первого отрезка от $0$ до $10\text{ см}$);
— для алюминиевой части: $x_2 = l_1 + \frac{l_2}{2} = 10 + 5 = 15\text{ см}$ (середина второго отрезка от $10$ до $20\text{ см}$).

Координату общего центра тяжести составного тела найдем по формуле: $$x_c = \frac{m_{\text{м}} x_1 + m_{\text{ал}} x_2}{m_{\text{м}} + m_{\text{ал}}}$$

Подставим выражения для масс и сократим на объём $V$: $$x_c = \frac{\rho_{\text{м}} V x_1 + \rho_{\text{ал}} V x_2}{\rho_{\text{м}} V + \rho_{\text{ал}} V} = \frac{\rho_{\text{м}} x_1 + \rho_{\text{ал}} x_2}{\rho_{\text{м}} + \rho_{\text{ал}}}$$

Подставим числовые значения: $$x_c = \frac{8{,}9 \cdot 5 + 2{,}7 \cdot 15}{8{,}9 + 2{,}7} = \frac{44{,}5 + 40{,}5}{11{,}6} = \frac{85}{11{,}6} \approx 7{,}33\text{ см}$$

Смещение центра тяжести относительно геометрической середины бруска ($x_0 = 10\text{ см}$) составляет: $$\Delta x = 10 - 7{,}33 = 2{,}67\text{ см}$$

Ответ: Центр тяжести бруска находится на расстоянии примерно $7{,}33\text{ см}$ от свободного медного торца (или на расстоянии $2{,}67\text{ см}$ от границы раздела двух металлов в сторону медной части).