номер 8, страница 146 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

8.Сухогруз перевёз лесоматериалы массой $m_1 = 9,0 \cdot 10^5 \text{ кг}$ из речного порта в морской порт. После разгрузки лесоматериалов в морском порту осадка судна уменьшилась на $\eta = 20\%$ по сравнению с осадкой в реке. Определите массу судна без груза. Плотность речной воды $\rho_{\text{р.в.}} = 1,0 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$, плотность морской воды $\rho_{\text{м.в.}} = 1025 \frac{\text{кг}}{\text{см}^3}$.

8.Сухогруз перевёз лесоматериалы массой $m_1 = 9{,}0 \cdot 10^5\text{ кг}$ из речного порта в морской порт. После разгрузки лесоматериалов в морском порту осадка судна уменьшилась на $\eta = 20\,\%$ по сравнению с осадкой в реке. Определите массу судна без груза. Плотность речной воды $\rho_{\text{р в}} = 1{,}0\text{ г/см}^3$, плотность морской воды $\rho_{\text{м в}} = 1025\text{ кг/м}^3$.

Дано:
$m_1 = 9{,}0 \cdot 10^5\text{ кг}$
$\eta = 20\,\% = 0{,}20$
$\rho_1 = \rho_{\text{р в}} = 1{,}0\text{ г/см}^3 = 1000\text{ кг/м}^3$
$\rho_2 = \rho_{\text{м в}} = 1025\text{ кг/м}^3$

Найти:
$m$ — массу судна без груза

Решение:

Пусть судно имеет форму, близкую к призматической (площадь горизонтального сечения по ватерлинии $S$ постоянна). Осадка судна в реке равна $h_1$, а в море после разгрузки — $h_2$. По условию задачи осадка уменьшилась на $20\,\%$, следовательно:

$$h_2 = h_1 \cdot (1 - \eta) = h_1 \cdot (1 - 0{,}20) = 0{,}8\,h_1$$

Объём погружённой части судна равен произведению площади сечения на осадку: $V = S \cdot h$.

Запишем условие плавания тела (сила тяжести уравновешивается силой Архимеда) для двух состояний:

• В речном порту с грузом лесоматериалов:
  $$(m + m_1)g = \rho_1 g V_1 \implies m + m_1 = \rho_1 S h_1$$
• В морском порту без груза:
  $$m g = \rho_2 g V_2 \implies m = \rho_2 S h_2 = \rho_2 S h_1 (1 - \eta)$$

Разделим первое уравнение на второе, чтобы исключить неизвестную величину $S h_1$:

$$\frac{m + m_1}{m} = \frac{\rho_1 S h_1}{\rho_2 S h_1 (1 - \eta)} = \frac{\rho_1}{\rho_2 (1 - \eta)}$$

Преобразуем выражение и выразим массу судна $m$:

$$1 + \frac{m_1}{m} = \frac{\rho_1}{\rho_2 (1 - \eta)}$$

$$\frac{m_1}{m} = \frac{\rho_1}{\rho_2 (1 - \eta)} - 1 = \frac{\rho_1 - \rho_2 (1 - \eta)}{\rho_2 (1 - \eta)}$$

$$m = m_1 \cdot \frac{\rho_2 (1 - \eta)}{\rho_1 - \rho_2 (1 - \eta)}$$

Подставим числовые значения из условия:

$$m = 9{,}0 \cdot 10^5 \cdot \frac{1025 \cdot 0{,}8}{1000 - 1025 \cdot 0{,}8} = 9{,}0 \cdot 10^5 \cdot \frac{820}{1000 - 820}$$

$$m = 9{,}0 \cdot 10^5 \cdot \frac{820}{180} = 9{,}0 \cdot 10^5 \cdot \frac{41}{9} = 41 \cdot 10^5\text{ кг} = 4{,}1 \cdot 10^6\text{ кг} = 4100\text{ т}$$

Ответ: $4{,}1 \cdot 10^6\text{ кг}$ (или $4100\text{ т}$).