Номер 118, страница 38 - гдз по физике 7 класс сборник задач Исаченкова, Гладков

Это экспериментальная задача, решение которой включает в себя как описание самого эксперимента, так и теоретические расчеты для обоснования полученных результатов.

Описание эксперимента

1. Используя измерительную ленту, измерьте полную длину наклонного желоба $\text{L}$.
2. Отметьте середину желоба, то есть точку на расстоянии $s_1 = L/2$ от его верхнего края.
3. Установите шарик у верхнего края желоба и отпустите его без начального толчка, чтобы его начальная скорость $v_0$ была равна нулю.
4. С помощью секундомера измерьте время $t_1$, за которое шарик пройдет первую половину желоба (от старта до метки).
5. Повторите эксперимент, но на этот раз измерьте общее время $t_{общ}$, за которое шарик пройдет весь желоб.
6. Для уменьшения погрешности измерений рекомендуется провести 3-5 замеров для каждого времени ($t_1$ и $t_{общ}$) и вычислить их средние арифметические значения.
7. Вычислите время $t_2$, затраченное на прохождение второй половины желоба, по формуле: $t_2 = t_{общ} - t_1$.
8. Рассчитайте средние скорости движения на каждом из участков по формуле $\langle v \rangle = s/t$:
- Средняя скорость на первой половине желоба: $\langle v_1 \rangle = \frac{L/2}{t_1}$.
- Средняя скорость на второй половине желоба: $\langle v_2 \rangle = \frac{L/2}{t_2} = \frac{L/2}{t_{общ} - t_1}$.
- Средняя скорость на всем желобе: $\langle v_{общ} \rangle = \frac{L}{t_{общ}}$.
9. Сравните полученные значения $\langle v_1 \rangle$, $\langle v_2 \rangle$ и $\langle v_{общ} \rangle$ и сделайте выводы.

Теоретический расчет и обоснование

Движение шарика по наклонной плоскости (желобу) является равноускоренным, если пренебречь силами трения. Поэтому для анализа можно использовать формулы кинематики равноускоренного движения.

Дано:

$\text{L}$ - длина всего желоба;
$s_1 = L/2$ - длина первой половины желоба;
$s_2 = L/2$ - длина второй половины желоба;
$v_0 = 0$ м/с - начальная скорость шарика;
$\text{a}$ - постоянное ускорение шарика.

Найти:

$\langle v_1 \rangle$ - среднюю скорость на первой половине желоба;
$\langle v_2 \rangle$ - среднюю скорость на второй половине желоба;
$\langle v_{общ} \rangle$ - среднюю скорость на всем желобе;
Сравнить полученные скорости.

Решение:

При равноускоренном движении из состояния покоя ($v_0 = 0$) пройденный путь $\text{s}$ за время $\text{t}$ определяется формулой $s = \frac{at^2}{2}$.
Отсюда можно выразить время движения: $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$.
Средняя скорость на участке пути $\text{s}$ равна: $\langle v \rangle = \frac{s}{t}$.

1. Средняя скорость на первой половине желоба ($\langle v_1 \rangle$)
Путь $s_1 = L/2$.
Время прохождения этого участка: $t_1 = \sqrt{\frac{2s_1}{a}} = \sqrt{\frac{2(L/2)}{a}} = \sqrt{\frac{L}{a}}$.
Средняя скорость на первом участке: $\langle v_1 \rangle = \frac{s_1}{t_1} = \frac{L/2}{\sqrt{L/a}} = \frac{1}{2}\sqrt{aL}$.

2. Средняя скорость на всем желобе ($\langle v_{общ} \rangle$)
Путь $s_{общ} = L$.
Время прохождения всего желоба: $t_{общ} = \sqrt{\frac{2s_{общ}}{a}} = \sqrt{\frac{2L}{a}}$.
Средняя скорость на всем пути: $\langle v_{общ} \rangle = \frac{s_{общ}}{t_{общ}} = \frac{L}{\sqrt{2L/a}} = \sqrt{\frac{L^2 a}{2L}} = \sqrt{\frac{aL}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{aL}$.

3. Средняя скорость на второй половине желоба ($\langle v_2 \rangle$)
Путь $s_2 = L/2$.
Время прохождения второго участка равно разности общего времени и времени прохождения первого участка: $t_2 = t_{общ} - t_1 = \sqrt{\frac{2L}{a}} - \sqrt{\frac{L}{a}} = \sqrt{\frac{L}{a}}(\sqrt{2}-1)$.
Средняя скорость на втором участке: $\langle v_2 \rangle = \frac{s_2}{t_2} = \frac{L/2}{\sqrt{L/a}(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{aL}}{2(\sqrt{2}-1)}$.

4. Сравнение средних скоростей
Для сравнения полученных выражений, оценим их коэффициенты:
$\langle v_1 \rangle = \frac{1}{2}\sqrt{aL} = 0.5 \cdot \sqrt{aL}$.
$\langle v_{общ} \rangle = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{aL} \approx 0.707 \cdot \sqrt{aL}$.
$\langle v_2 \rangle = \frac{1}{2(\sqrt{2}-1)}\sqrt{aL} \approx \frac{1}{2(1.414-1)}\sqrt{aL} \approx \frac{1}{0.828}\sqrt{aL} \approx 1.208 \cdot \sqrt{aL}$.
Сравнивая коэффициенты, получаем: $0.5 < 0.707 < 1.208$.
Следовательно, скорости соотносятся следующим образом: $\langle v_1 \rangle < \langle v_{общ} \rangle < \langle v_2 \rangle$.

Выводы:

Так как движение шарика равноускоренное, его мгновенная скорость непрерывно возрастает. Вследствие этого, на прохождение второй половины пути шарик затрачивает меньше времени, чем на прохождение первой. Поэтому средняя скорость на второй половине желоба оказывается наибольшей. Средняя скорость на первой половине пути, наоборот, наименьшая. Средняя скорость на всем пути принимает промежуточное значение.

Ответ: Средняя скорость шарика на первой половине желоба ($\langle v_1 \rangle$) будет наименьшей. Средняя скорость на второй половине желоба ($\langle v_2 \rangle$) будет наибольшей. Средняя скорость на всем желобе ($\langle v_{общ} \rangle$) будет иметь промежуточное значение между ними. Таким образом, выполняется соотношение: $\langle v_1 \rangle < \langle v_{общ} \rangle < \langle v_2 \rangle$. Это является следствием равноускоренного характера движения шарика, при котором его скорость постоянно увеличивается.