Номер 115, страница 37 - гдз по физике 7 класс сборник задач Исаченкова, Гладков

Дано:

Средняя скорость на первой половине трассы: $\langle v_1 \rangle = 6,0 \, \frac{м}{с}$

Средняя скорость на второй половине трассы: $\langle v_2 \rangle = 12 \, \frac{м}{с}$

Длина всей трассы (для первого случая): $l = 3,0 \, км$

Перевод в СИ:

$l = 3,0 \, км = 3000 \, м$

Найти:

Среднюю скорость на всей трассе: $\langle v \rangle$

Решение:

Задачу можно решить двумя способами: используя конкретное значение длины трассы и в общем виде, когда длина трассы неизвестна. Результат в обоих случаях должен быть одинаковым.

1. Решение при известной длине трассы ($l = 3,0$ км)

Средняя скорость движения определяется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения:

$\langle v \rangle = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Весь путь равен длине трассы: $S_{общ} = l = 3000 \, м$.

Длина первой и второй половин трассы одинакова:

$S_1 = S_2 = \frac{l}{2} = \frac{3000 \, м}{2} = 1500 \, м$

Найдем время, затраченное на каждый участок:

Время на первой половине трассы: $t_1 = \frac{S_1}{\langle v_1 \rangle} = \frac{1500 \, м}{6,0 \, \frac{м}{с}} = 250 \, с$.

Время на второй половине трассы: $t_2 = \frac{S_2}{\langle v_2 \rangle} = \frac{1500 \, м}{12 \, \frac{м}{с}} = 125 \, с$.

Общее время движения равно сумме времен на каждом участке:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = 250 \, с + 125 \, с = 375 \, с$.

Теперь можем вычислить среднюю скорость на всей трассе:

$\langle v \rangle = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{3000 \, м}{375 \, с} = 8,0 \, \frac{м}{с}$.

Ответ: средняя скорость движения конькобежца на всей трассе равна $8,0 \, \frac{м}{с}$.

2. Решение при условии, что длина трассы неизвестна

Пусть вся длина трассы равна $\text{l}$. Тогда первая половина пути $S_1 = \frac{l}{2}$, а вторая $S_2 = \frac{l}{2}$.

Выразим время прохождения каждого участка через $\text{l}$ и соответствующие скорости:

Время прохождения первого участка: $t_1 = \frac{S_1}{\langle v_1 \rangle} = \frac{l/2}{\langle v_1 \rangle} = \frac{l}{2\langle v_1 \rangle}$.

Время прохождения второго участка: $t_2 = \frac{S_2}{\langle v_2 \rangle} = \frac{l/2}{\langle v_2 \rangle} = \frac{l}{2\langle v_2 \rangle}$.

Общее время движения:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{l}{2\langle v_1 \rangle} + \frac{l}{2\langle v_2 \rangle} = \frac{l}{2} \left( \frac{1}{\langle v_1 \rangle} + \frac{1}{\langle v_2 \rangle} \right) = \frac{l(\langle v_1 \rangle + \langle v_2 \rangle)}{2\langle v_1 \rangle \langle v_2 \rangle}$.

Средняя скорость на всей трассе равна $\langle v \rangle = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{l}{t_{общ}}$. Подставим выражение для $t_{общ}$:

$\langle v \rangle = \frac{l}{\frac{l(\langle v_1 \rangle + \langle v_2 \rangle)}{2\langle v_1 \rangle \langle v_2 \rangle}}$

Длина трассы $\text{l}$ сокращается, и мы получаем общую формулу для средней скорости (которая является средним гармоническим двух скоростей):

$\langle v \rangle = \frac{2\langle v_1 \rangle \langle v_2 \rangle}{\langle v_1 \rangle + \langle v_2 \rangle}$

Эта формула подтверждает, что средняя скорость в данном случае не зависит от общей длины трассы.

Подставим числовые значения:

$\langle v \rangle = \frac{2 \cdot 6,0 \, \frac{м}{с} \cdot 12 \, \frac{м}{с}}{6,0 \, \frac{м}{с} + 12 \, \frac{м}{с}} = \frac{144 \, (\frac{м}{с})^2}{18 \, \frac{м}{с}} = 8,0 \, \frac{м}{с}$.

Ответ: средняя скорость движения конькобежца на всей трассе равна $8,0 \, \frac{м}{с}$.