Номер 116, страница 37 - гдз по физике 7 класс сборник задач Исаченкова, Гладков

Дано:

$\langle v \rangle = 24 \frac{м}{с}$
$\langle v_1 \rangle = 30 \frac{м}{с}$

Все величины даны в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$\langle v_2 \rangle$

Решение:

Средняя скорость на всем пути $\langle v \rangle$ определяется как отношение всего пройденного пути $\text{S}$ ко всему времени движения $\text{t}$:

$\langle v \rangle = \frac{S}{t}$

Весь путь $\text{S}$ состоит из двух равных участков: $S_1 = S_2 = \frac{S}{2}$.

Все время движения $\text{t}$ равно сумме времен, затраченных на прохождение каждого участка: $t = t_1 + t_2$.

Время прохождения первого участка пути:

$t_1 = \frac{S_1}{\langle v_1 \rangle} = \frac{S/2}{\langle v_1 \rangle} = \frac{S}{2\langle v_1 \rangle}$

Время прохождения второго участка пути:

$t_2 = \frac{S_2}{\langle v_2 \rangle} = \frac{S/2}{\langle v_2 \rangle} = \frac{S}{2\langle v_2 \rangle}$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в формулу для общего времени:

$t = \frac{S}{2\langle v_1 \rangle} + \frac{S}{2\langle v_2 \rangle} = \frac{S}{2} \left( \frac{1}{\langle v_1 \rangle} + \frac{1}{\langle v_2 \rangle} \right)$

Теперь подставим это выражение для времени $\text{t}$ в формулу для средней скорости на всем пути:

$\langle v \rangle = \frac{S}{\frac{S}{2} \left( \frac{1}{\langle v_1 \rangle} + \frac{1}{\langle v_2 \rangle} \right)}$

Сократим $\text{S}$ и упростим выражение:

$\langle v \rangle = \frac{1}{\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\langle v_1 \rangle} + \frac{1}{\langle v_2 \rangle} \right)} = \frac{2}{\frac{1}{\langle v_1 \rangle} + \frac{1}{\langle v_2 \rangle}}$

Из этой формулы выразим искомую среднюю скорость на втором участке пути $\langle v_2 \rangle$:

$\frac{1}{\langle v_1 \rangle} + \frac{1}{\langle v_2 \rangle} = \frac{2}{\langle v \rangle}$

$\frac{1}{\langle v_2 \rangle} = \frac{2}{\langle v \rangle} - \frac{1}{\langle v_1 \rangle}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{1}{\langle v_2 \rangle} = \frac{2\langle v_1 \rangle - \langle v \rangle}{\langle v \rangle \langle v_1 \rangle}$

Тогда:

$\langle v_2 \rangle = \frac{\langle v \rangle \langle v_1 \rangle}{2\langle v_1 \rangle - \langle v \rangle}$

Подставим числовые значения:

$\langle v_2 \rangle = \frac{24 \frac{м}{с} \cdot 30 \frac{м}{с}}{2 \cdot 30 \frac{м}{с} - 24 \frac{м}{с}} = \frac{720 (\frac{м}{с})^2}{60 \frac{м}{с} - 24 \frac{м}{с}} = \frac{720 (\frac{м}{с})^2}{36 \frac{м}{с}} = 20 \frac{м}{с}$

Ответ: $20 \frac{м}{с}$