Номер 504, страница 127 - гдз по физике 7 класс сборник задач Исаченкова, Гладков

Для проверки выполнения закона сохранения механической энергии воспользуемся гипотетическим экспериментом, который можно было бы провести с помощью интерактивной модели «Превращение механической энергии в системе тел». В качестве такой системы рассмотрим тело, движущееся по гладкой (без трения) криволинейной траектории под действием силы тяжести. Примером такой системы может быть математический маятник или шарик, скатывающийся по американским горкам.

Закон сохранения полной механической энергии гласит, что в замкнутой системе тел, в которой действуют только консервативные (потенциальные) силы (например, сила тяжести или сила упругости), полная механическая энергия системы остается постоянной. Полная механическая энергия $\text{E}$ является суммой кинетической $E_к$ и потенциальной $E_п$ энергий:

$E = E_к + E_п = const$

Кинетическая энергия вычисляется по формуле $E_к = \frac{mv^2}{2}$, а потенциальная энергия тела, поднятого над землей, — $E_п = mgh$.

В интерактивной модели мы можем задать начальные параметры и отслеживать изменение энергий в процессе движения. Проведем численный эксперимент.

Дано:

Рассмотрим тело массой $m = 2$ кг, которое начинает движение из состояния покоя с высоты $h_{max} = 10$ м. Ускорение свободного падения примем равным $g = 9.8$ м/с².

Найти:

Проверить, сохраняется ли полная механическая энергия тела в различных точках траектории.

Решение:

Интерактивная модель позволяет нам измерить скорость и высоту тела в любой момент времени и рассчитать соответствующие энергии. Проверим значения в трех характерных точках: в начальной (верхней), в нижней и в промежуточной.

1. Начальное положение (точка 1, самая высокая):

Тело находится на максимальной высоте и покоится.

Высота: $h_1 = 10$ м.

Скорость: $v_1 = 0$ м/с.

Потенциальная энергия: $E_{п1} = mgh_1 = 2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 10 \text{ м} = 196 \text{ Дж}$.

Кинетическая энергия: $E_{к1} = \frac{mv_1^2}{2} = \frac{2 \text{ кг} \cdot (0 \text{ м/с})^2}{2} = 0 \text{ Дж}$.

Полная механическая энергия:

$E_1 = E_{п1} + E_{к1} = 196 \text{ Дж} + 0 \text{ Дж} = 196 \text{ Дж}$.

2. Промежуточное положение (точка 2):

Пусть в этой точке тело находится на высоте $h_2 = 5$ м. Его скорость $v_2$ можно найти из закона сохранения энергии, предположив, что он выполняется. Модель позволила бы измерить эту скорость напрямую. Проверим, будет ли сумма энергий равна начальной.

Из закона сохранения энергии: $E_1 = E_2$.

$mgh_1 = mgh_2 + \frac{mv_2^2}{2}$

$v_2 = \sqrt{2g(h_1 - h_2)} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot (10 \text{ м} - 5 \text{ м})} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 5} = \sqrt{98} \approx 9.9$ м/с.

Теперь рассчитаем энергии в этой точке:

Потенциальная энергия: $E_{п2} = mgh_2 = 2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 5 \text{ м} = 98 \text{ Дж}$.

Кинетическая энергия: $E_{к2} = \frac{mv_2^2}{2} = \frac{2 \text{ кг} \cdot (\sqrt{98} \text{ м/с})^2}{2} = \frac{2 \cdot 98}{2} = 98 \text{ Дж}$.

Полная механическая энергия:

$E_2 = E_{п2} + E_{к2} = 98 \text{ Дж} + 98 \text{ Дж} = 196 \text{ Дж}$.

Значение полной энергии совпало с начальным.

3. Нижнее положение (точка 3):

Это самая низкая точка траектории, которую мы примем за нулевой уровень высоты.

Высота: $h_3 = 0$ м.

Скорость $v_3$ будет максимальной. Найдем ее из закона сохранения энергии: $mgh_1 = \frac{mv_3^2}{2}$.

$v_3 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 10 \text{ м}} = \sqrt{196} = 14$ м/с.

Рассчитаем энергии в этой точке:

Потенциальная энергия: $E_{п3} = mgh_3 = 2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 0 \text{ м} = 0 \text{ Дж}$.

Кинетическая энергия: $E_{к3} = \frac{mv_3^2}{2} = \frac{2 \text{ кг} \cdot (14 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{2 \cdot 196}{2} = 196 \text{ Дж}$.

Полная механическая энергия:

$E_3 = E_{п3} + E_{к3} = 0 \text{ Дж} + 196 \text{ Дж} = 196 \text{ Дж}$.

Значение полной энергии снова совпало с начальным.

В ходе эксперимента с интерактивной моделью мы видим, что в любой точке траектории, несмотря на непрерывное превращение потенциальной энергии в кинетическую и обратно, их сумма (полная механическая энергия) остается неизменной: $E_1 = E_2 = E_3 = 196$ Дж.

Если бы в модели была возможность включить силы трения или сопротивление воздуха (неконсервативные силы), мы бы увидели, что полная механическая энергия со временем уменьшается, так как часть ее переходит во внутреннюю энергию (теплоту), и тело в итоге остановилось бы.

Таким образом, интерактивная модель наглядно демонстрирует и подтверждает выполнимость закона сохранения механической энергии для замкнутых систем, в которых действуют только консервативные силы.

Ответ: С помощью интерактивной модели было проверено, что в замкнутой системе тел, где отсутствуют силы трения и сопротивления, полная механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, сохраняется. В ходе движения происходит лишь превращение одного вида механической энергии в другой, но их сумма остается постоянной, что подтверждает справедливость закона сохранения механической энергии.