Номер 500, страница 126 - гдз по физике 7 класс сборник задач Исаченкова, Гладков

Дано:

$h_O = 30 \text{ м}$
$v_O = 2.5 \text{ м/с}$
$h_A = 0 \text{ м}$
$h_B = 25 \text{ м}$
$h_C = 15 \text{ м}$
Трение отсутствует.

Найти:

$\frac{K_A}{K_O} - ?$
$\frac{K_B}{K_O} - ?$
$\frac{K_C}{K_O} - ?$

Решение:

Поскольку движение происходит без трения, для участника аттракциона выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия $\text{E}$ равна сумме кинетической ($\text{K}$) и потенциальной ($\text{U}$) энергий и остается постоянной во всех точках траектории.

$E = K + U = \text{const}$

Кинетическая энергия определяется формулой $K = \frac{1}{2}mv^2$, а потенциальная энергия в поле тяжести Земли — $U = mgh$, где $\text{m}$ — масса участника, $\text{v}$ — его скорость, $\text{h}$ — высота над нулевым уровнем (уровнем земли), а $\text{g}$ — ускорение свободного падения. В школьных задачах для упрощения расчетов часто принимают $g \approx 10 \text{ м/с}^2$. Используем это значение.

Запишем закон сохранения энергии для точки $\text{O}$ и произвольной точки $\text{X}$ (где $\text{X}$ может быть $\text{A}$, $\text{B}$ или $\text{C}$):

$K_X + U_X = K_O + U_O$

Выразим отсюда кинетическую энергию в точке $\text{X}$:

$K_X = K_O + U_O - U_X = K_O + mgh_O - mgh_X = K_O + mg(h_O - h_X)$

Чтобы найти, во сколько раз кинетическая энергия в точке $\text{X}$ отличается от кинетической энергии в точке $\text{O}$, найдем их отношение $\frac{K_X}{K_O}$. Для этого разделим обе части последнего уравнения на $K_O$:

$\frac{K_X}{K_O} = \frac{K_O + mg(h_O - h_X)}{K_O} = 1 + \frac{mg(h_O - h_X)}{K_O}$

Подставим в это выражение формулу для кинетической энергии в точке $\text{O}$, $K_O = \frac{1}{2}mv_O^2$:

$\frac{K_X}{K_O} = 1 + \frac{mg(h_O - h_X)}{\frac{1}{2}mv_O^2} = 1 + \frac{2g(h_O - h_X)}{v_O^2}$

Используем эту общую формулу для нахождения искомых отношений.

в точке А

Высота в точке A равна $h_A = 0 \text{ м}$. Подставим значения в формулу:

$\frac{K_A}{K_O} = 1 + \frac{2g(h_O - h_A)}{v_O^2} = 1 + \frac{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (30 \text{ м} - 0 \text{ м})}{(2.5 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2} = 1 + \frac{600}{6.25} = 1 + 96 = 97$

Ответ: кинетическая энергия в точке А в 97 раз больше, чем в точке О.

в точке В

Высота в точке B равна $h_B = 25 \text{ м}$. Подставим значения в формулу:

$\frac{K_B}{K_O} = 1 + \frac{2g(h_O - h_B)}{v_O^2} = 1 + \frac{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (30 \text{ м} - 25 \text{ м})}{(2.5 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2} = 1 + \frac{2 \cdot 10 \cdot 5}{6.25} = 1 + \frac{100}{6.25} = 1 + 16 = 17$

Ответ: кинетическая энергия в точке В в 17 раз больше, чем в точке О.

в точке С

Высота в точке C равна $h_C = 15 \text{ м}$. Подставим значения в формулу:

$\frac{K_C}{K_O} = 1 + \frac{2g(h_O - h_C)}{v_O^2} = 1 + \frac{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (30 \text{ м} - 15 \text{ м})}{(2.5 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2} = 1 + \frac{2 \cdot 10 \cdot 15}{6.25} = 1 + \frac{300}{6.25} = 1 + 48 = 49$

Ответ: кинетическая энергия в точке С в 49 раз больше, чем в точке О.