Номер 502, страница 127 - гдз по физике 7 класс сборник задач Исаченкова, Гладков

Для оценки времени вытекания воды из ванны необходимо сделать разумные предположения о размерах ванны и сливного отверстия, а затем применить физические законы гидродинамики. Будем моделировать ванну как сосуд с примерно постоянной площадью поперечного сечения, а для скорости истечения жидкости использовать формулу Торричелли с поправкой на реальные условия.

Дано:

Для оценки примем следующие типичные параметры стандартной ванны и слива:
Длина ванны: $L = 1.5$ м
Ширина ванны: $W = 0.7$ м
Начальная высота (глубина) воды: $H_0 = 0.4$ м
Диаметр сливного отверстия: $d = 5$ см
Коэффициент расхода (учитывающий вязкость и конструкцию слива): $C_d \approx 0.6$ (безразмерная величина)
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в систему СИ и вычисление площадей:
Площадь горизонтального сечения ванны (считаем ее постоянной): $S = L \cdot W = 1.5 \text{ м} \cdot 0.7 \text{ м} = 1.05 \text{ м}^2$.
Радиус сливного отверстия: $r = d/2 = 2.5 \text{ см} = 0.025 \text{ м}$.
Площадь сливного отверстия: $s = \pi r^2 = \pi \cdot (0.025 \text{ м})^2 \approx 3.14 \cdot 0.000625 \text{ м}^2 \approx 1.96 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$.

Найти:

Время полного вытекания воды $\text{T}$.

Решение:

Скорость вытекания воды из отверстия на глубине $\text{h}$ определяется по формуле Торричелли: $v = \sqrt{2gh}$.
По мере вытекания воды, ее уровень $\text{h}$ уменьшается, а значит, уменьшается и скорость вытекания $\text{v}$. Чтобы найти общее время, нужно учесть это непрерывное изменение.
Объемный расход воды через сливное отверстие равен $Q = s \cdot v = s\sqrt{2gh}$.
За малый промежуток времени $ ext{dt}$ из ванны вытекает объем воды $dV = Q \cdot dt = s\sqrt{2gh} \cdot dt$.
Этот же объем соответствует понижению уровня воды в ванне на величину $ ext{dh}$: $dV = -S \cdot dh$ (знак "минус" указывает на уменьшение высоты).
Приравнивая выражения для $ ext{dV}$, получаем дифференциальное уравнение: $S \cdot dh = -s\sqrt{2gh} \cdot dt$.
Разделив переменные и проинтегрировав это уравнение от начальной высоты $H_0$ до 0, можно получить формулу для времени полного вытекания воды: $$ T_{ideal} = \frac{S}{s} \sqrt{\frac{2H_0}{g}} $$ Эта формула справедлива для идеальной жидкости, вытекающей через малое отверстие. В реальности из-за вязкости воды и гидравлического сопротивления в сливном отверстии и трубе (турбулентность, трение) скорость потока меньше. Это учитывается введением эмпирического коэффициента расхода $C_d$. Для короткой трубы, как у слива ванны, его значение составляет примерно 0.6.
Формула для реального времени вытекания примет вид: $$ T = \frac{1}{C_d} \cdot T_{ideal} = \frac{1}{C_d} \frac{S}{s} \sqrt{\frac{2H_0}{g}} $$ Подставим наши оценочные значения в формулу: $$ T = \frac{1}{0.6} \cdot \frac{1.05 \text{ м}^2}{1.96 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2} \sqrt{\frac{2 \cdot 0.4 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} $$ Вычислим по частям:
Отношение площадей: $\frac{S}{s} = \frac{1.05}{1.96 \cdot 10^{-3}} \approx 536$.
Выражение под корнем и корень: $\sqrt{\frac{0.8}{9.8}} \approx \sqrt{0.0816} \approx 0.286$ с.
Итоговое время в секундах: $$ T \approx \frac{1}{0.6} \cdot 536 \cdot 0.286 \approx 1.667 \cdot 153.3 \approx 256 \text{ с} $$ Переведем секунды в минуты для наглядности: $$ T = \frac{256 \text{ с}}{60 \text{ с/мин}} \approx 4.27 \text{ мин} $$ Это примерно 4 минуты 16 секунд. С учетом приближенности всех параметров, можно округлить результат.

Ответ: Оценочное время вытекания воды из наполненной до краев ванны составляет примерно 4-5 минут.