Номер 499, страница 126 - гдз по физике 7 класс сборник задач Исаченкова, Гладков

Дано:

Шарик массой $\text{m}$, привязанный к веревке, вращается в вертикальной плоскости.

Найти:

Доказать, что модуль скорости шарика $\text{v}$ не является постоянной величиной ($v \neq \text{const}$).

Решение:

Рассмотрим движение шарика с точки зрения закона сохранения энергии. На шарик действуют две силы: сила натяжения веревки $\vec{T}$ и сила тяжести $m\vec{g}$.

Сила натяжения веревки $\vec{T}$ в любой момент времени перпендикулярна вектору скорости шарика $\vec{v}$. Следовательно, работа силы натяжения равна нулю ($A_T = 0$), и эта сила не изменяет энергию шарика.

Сила тяжести $m\vec{g}$ является консервативной. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то полная механическая энергия системы "шарик-Земля" сохраняется, то есть остается постоянной на всей траектории движения.

Полная механическая энергия $\text{E}$ представляет собой сумму кинетической ($\text{K}$) и потенциальной ($\text{U}$) энергий:

$E = K + U = \text{const}$

Кинетическая энергия шарика зависит от модуля его скорости: $K = \frac{1}{2}mv^2$.

Потенциальная энергия шарика в поле тяжести Земли зависит от его высоты $\text{h}$ над некоторым условным нулевым уровнем: $U = mgh$.

При вращении шарика в вертикальной плоскости его высота $\text{h}$ непрерывно изменяется. Она минимальна в нижней точке траектории и максимальна в верхней. Следовательно, потенциальная энергия шарика $U=mgh$ также непрерывно изменяется.

Из закона сохранения энергии ($E = K + U = \text{const}$) следует, что если потенциальная энергия $\text{U}$ изменяется, то для сохранения постоянства полной энергии $\text{E}$ должна изменяться и кинетическая энергия $\text{K}$. Например, при движении шарика вверх его высота $\text{h}$ и потенциальная энергия $\text{U}$ увеличиваются. Чтобы сумма $K+U$ оставалась постоянной, кинетическая энергия $\text{K}$ должна уменьшаться. Наоборот, при движении вниз $\text{U}$ уменьшается, а $\text{K}$ — увеличивается.

Так как кинетическая энергия $K = \frac{1}{2}mv^2$ изменяется, а масса шарика $\text{m}$ является постоянной величиной, то должен изменяться и модуль его скорости $\text{v}$.

Таким образом, скорость шарика не может иметь постоянное значение при вращении в вертикальной плоскости. Она достигает своего максимального значения в нижней точке траектории (где потенциальная энергия минимальна) и минимального значения в верхней точке (где потенциальная энергия максимальна), что и требовалось доказать.

Ответ:

При движении шарика в вертикальной плоскости его высота, а следовательно, и его потенциальная энергия ($U=mgh$) постоянно изменяются. Согласно закону сохранения полной механической энергии ($E = K+U = \text{const}$), изменение потенциальной энергии должно быть скомпенсировано изменением кинетической энергии ($K=\frac{1}{2}mv^2$). Поскольку кинетическая энергия изменяется, то и модуль скорости шарика не может оставаться постоянным.