Номер 503, страница 127 - гдз по физике 7 класс сборник задач Исаченкова, Гладков

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Согласно условию, мы пренебрегаем сопротивлением движению и энергией вращения шарика. Это означает, что полная механическая энергия системы (сумма кинетической и потенциальной энергий) остается неизменной на всем пути движения.

Сравните потенциальную энергию шарика относительно поверхности стола в начале движения и его кинетическую энергию в конце движения. Объясните полученный результат.

Дано:

$\text{m}$ – масса шарика
$h_1$ – начальная высота шарика над поверхностью стола
$v_1 = 0$ – начальная скорость шарика
$h_2 = 0$ – конечная высота шарика (на уровне стола)
$v_2$ – конечная скорость шарика
$\text{g}$ – ускорение свободного падения

Найти:

Сравнить начальную потенциальную энергию $E_{p1}$ и конечную кинетическую энергию $E_{k2}$. Объяснить результат.

Решение:

Полная механическая энергия шарика в любой точке траектории равна сумме его потенциальной и кинетической энергий: $E = E_p + E_k$.

В начальный момент времени (в точке 1), когда шарик находится на высоте $h_1$ и покоится, его полная энергия равна:

$E_1 = E_{p1} + E_{k1} = mgh_1 + \frac{m v_1^2}{2} = mgh_1 + 0 = mgh_1$

В конце движения (в точке 2), когда шарик достигает поверхности стола ($h_2=0$) и имеет скорость $v_2$, его полная энергия равна:

$E_2 = E_{p2} + E_{k2} = mgh_2 + \frac{m v_2^2}{2} = 0 + \frac{m v_2^2}{2} = \frac{m v_2^2}{2}$

Согласно закону сохранения механической энергии, полная энергия в начальной точке равна полной энергии в конечной точке, так как отсутствуют силы трения и сопротивления:

$E_1 = E_2$

Следовательно:

$mgh_1 = \frac{m v_2^2}{2}$

Это равенство показывает, что начальная потенциальная энергия шарика ($E_{p1} = mgh_1$) равна его конечной кинетической энергии ($E_{k2} = \frac{m v_2^2}{2}$).

Объяснение результата заключается в том, что при движении шарика вниз под действием силы тяжести происходит преобразование энергии: его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая увеличивается. В идеальных условиях (без потерь на трение и вращение) вся начальная потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую.

Ответ: Потенциальная энергия шарика в начале движения равна его кинетической энергии в конце движения. Это является следствием закона сохранения механической энергии, согласно которому в отсутствие сил трения и сопротивления потенциальная энергия тела полностью преобразуется в кинетическую при его спуске.

В какой точке желоба кинетическая энергия шарика равна потенциальной? Определите потенциальную энергию в этой точке.

Дано:

$\text{h}$ – начальная высота шарика
$E_1 = mgh$ – полная начальная энергия
$E_{kx} = E_{px}$ – условие равенства энергий в искомой точке x

Найти:

Высоту $h_x$, на которой выполняется условие, и значение потенциальной энергии $E_{px}$ в этой точке.

Решение:

Пусть искомая точка находится на высоте $h_x$ от поверхности стола. В этой точке шарик обладает как потенциальной, так и кинетической энергией.

Потенциальная энергия в этой точке: $E_{px} = mgh_x$.

Кинетическая энергия в этой точке: $E_{kx}$.

Полная механическая энергия в этой точке: $E_x = E_{px} + E_{kx}$.

По закону сохранения энергии, полная энергия в точке x равна начальной полной энергии:

$E_x = E_1 \implies E_{px} + E_{kx} = mgh$

По условию задачи, в этой точке кинетическая энергия равна потенциальной: $E_{kx} = E_{px}$. Подставим это условие в уравнение сохранения энергии:

$E_{px} + E_{px} = mgh$

$2E_{px} = mgh$

Отсюда находим потенциальную энергию в этой точке:

$E_{px} = \frac{mgh}{2}$

Теперь найдем высоту $h_x$, на которой это происходит. Так как $E_{px} = mgh_x$, мы можем написать:

$mgh_x = \frac{mgh}{2}$

Разделив обе части на $ ext{mg}$, получим:

$h_x = \frac{h}{2}$

Таким образом, кинетическая энергия шарика равна его потенциальной энергии в тот момент, когда он находится на половине своей начальной высоты.

Ответ: Кинетическая энергия шарика равна его потенциальной энергии в точке, расположенной на высоте, равной половине начальной высоты ($h/2$). Потенциальная энергия в этой точке равна половине начальной потенциальной энергии ($mgh/2$).