Номер 121, страница 19 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Дано:

Объем горячей воды, $V_1 = 50$ л
Температура горячей воды, $t_1 = 80$ °C
Объем холодной воды, $V_2 = 120$ л
Температура холодной воды, $t_2 = 20$ °C
Доля потерь тепла от отданного горячей водой, $k = 20\% = 0.2$
Удельная теплоемкость воды, $c = 4200$ Дж/(кг·°C)
Плотность воды, $\rho = 1000$ кг/м³

$V_1 = 50 \cdot 10^{-3}$ м³
$V_2 = 120 \cdot 10^{-3}$ м³

Найти:

$\text{t}$ — конечная температура воды в ванне.

Решение:

В процессе установления теплового равновесия горячая вода отдает количество теплоты $Q_1$, а холодная вода получает количество теплоты $Q_2$. Часть теплоты, отданной горячей водой, теряется на нагревание окружающей среды ($Q_{потери}$).

Уравнение теплового баланса имеет вид:

$Q_1 = Q_2 + Q_{потери}$

Согласно условию, потери тепла составляют 20% от количества теплоты, отданной горячей водой:

$Q_{потери} = k \cdot Q_1 = 0.2 \cdot Q_1$

Следовательно, количество теплоты, которое пошло на нагрев холодной воды, составляет:

$Q_2 = Q_1 - Q_{потери} = Q_1 - 0.2 \cdot Q_1 = (1 - 0.2) \cdot Q_1 = 0.8 \cdot Q_1$

Количество теплоты, отданное горячей водой при остывании от начальной температуры $t_1$ до конечной $\text{t}$, определяется по формуле:

$Q_1 = c \cdot m_1 \cdot (t_1 - t)$

Количество теплоты, полученное холодной водой при нагревании от начальной температуры $t_2$ до конечной $\text{t}$, определяется по формуле:

$Q_2 = c \cdot m_2 \cdot (t - t_2)$

Массы горячей ($m_1$) и холодной ($m_2$) воды выразим через их объемы и плотность воды $\rho$:

$m_1 = \rho \cdot V_1$

$m_2 = \rho \cdot V_2$

Подставим эти выражения в уравнение теплового баланса $Q_2 = 0.8 \cdot Q_1$:

$c \cdot m_2 \cdot (t - t_2) = 0.8 \cdot c \cdot m_1 \cdot (t_1 - t)$

$c \cdot \rho \cdot V_2 \cdot (t - t_2) = 0.8 \cdot c \cdot \rho \cdot V_1 \cdot (t_1 - t)$

Так как вещество одно и то же (вода), удельная теплоемкость $\text{c}$ и плотность $\rho$ в левой и правой частях уравнения сокращаются:

$V_2 \cdot (t - t_2) = 0.8 \cdot V_1 \cdot (t_1 - t)$

Выразим из этого уравнения искомую конечную температуру $\text{t}$:

$V_2 \cdot t - V_2 \cdot t_2 = 0.8 \cdot V_1 \cdot t_1 - 0.8 \cdot V_1 \cdot t$

$V_2 \cdot t + 0.8 \cdot V_1 \cdot t = 0.8 \cdot V_1 \cdot t_1 + V_2 \cdot t_2$

$t \cdot (V_2 + 0.8 \cdot V_1) = 0.8 \cdot V_1 \cdot t_1 + V_2 \cdot t_2$

$t = \frac{0.8 \cdot V_1 \cdot t_1 + V_2 \cdot t_2}{V_2 + 0.8 \cdot V_1}$

Подставим числовые значения. Объемы можно подставлять в литрах, так как единицы измерения сократятся:

$t = \frac{0.8 \cdot 50 \text{ л} \cdot 80 \text{ °C} + 120 \text{ л} \cdot 20 \text{ °C}}{120 \text{ л} + 0.8 \cdot 50 \text{ л}} = \frac{3200 + 2400}{120 + 40}$ °C

$t = \frac{5600}{160}$ °C

$t = 35$ °C

Ответ: конечная температура воды в ванне составит 35 °C.