Номер 184, страница 32 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Для решения этой задачи, которая является оценочной, необходимо ввести разумные предположения для физических величин, не указанных в условии. Будем считать систему «чай – мороженое – стакан» теплоизолированной (без потерь тепла в окружающую среду).

Примем следующие допущения:

Стакан: Масса стеклянного стакана $m_{ст} = 150 \text{ г}$, его удельная теплоемкость $c_{ст} = 840 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$. Начальная температура стакана равна комнатной, $t_{ст} = 20 \text{ °C}$.

Чай: Объем чая в стакане $V_{чая} = 200 \text{ мл}$. Плотность и удельную теплоемкость чая примем равными соответствующим значениям для воды: $\rho_{чая} \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ и $c_{чая} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$. Тогда масса чая $m_{чая} = 200 \text{ г}$. Начальная температура горячего чая $t_{чая} = 90 \text{ °C}$.

Мороженое: Масса двух ложек мороженого $m_{м} \approx 50 \text{ г}$. Начальная температура, как из морозильной камеры, $t_{м} = -18 \text{ °C}$. Для оценки будем считать, что мороженое по своим теплофизическим свойствам не отличается от воды/льда: температура плавления $t_{пл} = 0 \text{ °C}$, удельная теплоемкость в твердом состоянии $c_{льда} = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$, удельная теплота плавления $\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ и удельная теплоемкость в жидком состоянии $c_{воды} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$.

Дано:

Чай:

$t_{чая} = 90 \text{ °C}$

$m_{чая} = 200 \text{ г}$

$c_{чая} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Стакан:

$t_{ст} = 20 \text{ °C}$

$m_{ст} = 150 \text{ г}$

$c_{ст} = 840 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Мороженое (свойства льда/воды):

$t_{м} = -18 \text{ °C}$

$m_{м} = 50 \text{ г}$

$t_{пл} = 0 \text{ °C}$

$c_{льда} = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

$\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

$c_{воды} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Перевод в СИ:

$m_{чая} = 0.2 \text{ кг}$

$m_{ст} = 0.15 \text{ кг}$

$m_{м} = 0.05 \text{ кг}$

Найти:

$\theta$ - конечная температура чая.

Решение:

Запишем уравнение теплового баланса для системы. Количество теплоты, отданное горячим чаем, расходуется на нагревание и плавление мороженого, а также на нагревание стакана. Обозначим конечную равновесную температуру системы через $\theta$.

Количество теплоты, отданное чаем при остывании до температуры $\theta$:

$Q_{отд} = c_{чая} m_{чая} (t_{чая} - \theta)$

Количество теплоты, полученное мороженым, складывается из трех этапов:

1. Нагревание твердого мороженого от $t_{м}$ до температуры плавления $t_{пл}$:

$Q_1 = c_{льда} m_{м} (t_{пл} - t_{м})$

2. Плавление мороженого при температуре $t_{пл}$:

$Q_2 = \lambda m_{м}$

3. Нагревание растаявшего мороженого (жидкости) от $t_{пл}$ до конечной температуры $\theta$:

$Q_3 = c_{воды} m_{м} (\theta - t_{пл})$

Количество теплоты, полученное стаканом при нагревании от $t_{ст}$ до $\theta$:

$Q_{ст} = c_{ст} m_{ст} (\theta - t_{ст})$

Согласно закону сохранения энергии, уравнение теплового баланса имеет вид:

$Q_{отд} = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_{ст}$

$c_{чая} m_{чая} (t_{чая} - \theta) = c_{льда} m_{м} (t_{пл} - t_{м}) + \lambda m_{м} + c_{воды} m_{м} (\theta - t_{пл}) + c_{ст} m_{ст} (\theta - t_{ст})$

Подставим числовые значения в уравнение:

$4200 \cdot 0.2 \cdot (90 - \theta) = 2100 \cdot 0.05 \cdot (0 - (-18)) + 3.3 \cdot 10^5 \cdot 0.05 + 4200 \cdot 0.05 \cdot (\theta - 0) + 840 \cdot 0.15 \cdot (\theta - 20)$

Выполним вычисления:

$840(90 - \theta) = (105 \cdot 18) + 16500 + 210\theta + 126(\theta - 20)$

$75600 - 840\theta = 1890 + 16500 + 210\theta + 126\theta - 2520$

Сгруппируем слагаемые:

$75600 - 840\theta = (1890 + 16500 - 2520) + (210 + 126)\theta$

$75600 - 840\theta = 15870 + 336\theta$

Теперь решим уравнение относительно $\theta$:

$75600 - 15870 = 336\theta + 840\theta$

$59730 = 1176\theta$

$\theta = \frac{59730}{1176} \approx 50.79 \text{ °C}$

Округляя результат, получаем, что конечная температура чая будет комфортной для питья.

Ответ: Примерная температура чая после таяния мороженого составит около $51 \text{ °C}$.