Номер 177, страница 30 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Дано:

Масса воды, $m_1 = 2,0$ кг
Начальная температура воды, $t_1 = 10^\circ$С
Масса льда, $m_2 = m_1 = 2,0$ кг
Начальная температура льда, $t_2 = -10^\circ$С
Удельная теплоемкость воды, $c_1 = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot ^\circ C}$
Удельная теплоемкость льда, $c_2 = 2100 \frac{Дж}{кг \cdot ^\circ C}$
Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$

Все данные уже представлены в единицах, согласованных для расчетов (система СИ, за исключением температуры в градусах Цельсия, что допустимо при расчете разности температур).

Найти:

Часть расплавившегося льда, $\eta = \frac{m_{расп}}{m_2}$.

Решение:

Поскольку сосуд теплоизолированный, теплообмен происходит только между водой и льдом. Горячая вода отдает тепло, а холодный лед его поглощает. Составим уравнение теплового баланса, исходя из закона сохранения энергии.

Сначала определим, какая установится конечная температура. Для этого сравним количество теплоты, которое может отдать вода, остывая до $0^\circ$С, с количеством теплоты, которое необходимо для нагрева льда до $0^\circ$С.

1. Количество теплоты $Q_1$, которое отдаст вода, остывая от $t_1 = 10^\circ$С до температуры плавления льда $t_{пл} = 0^\circ$С:
$Q_1 = c_1 m_1 (t_1 - t_{пл}) = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot ^\circ C} \cdot 2,0 \text{ кг} \cdot (10^\circ\text{С} - 0^\circ\text{С}) = 84000 \text{ Дж}$.

2. Количество теплоты $Q_2$, необходимое для нагревания всего льда от $t_2 = -10^\circ$С до температуры плавления $t_{пл} = 0^\circ$С:
$Q_2 = c_2 m_2 (t_{пл} - t_2) = 2100 \frac{Дж}{кг \cdot ^\circ C} \cdot 2,0 \text{ кг} \cdot (0^\circ\text{С} - (-10^\circ\text{С})) = 42000 \text{ Дж}$.

3. Сравним $Q_1$ и $Q_2$:
$84000 \text{ Дж} > 42000 \text{ Дж}$, то есть $Q_1 > Q_2$.
Это означает, что тепла, отданного водой, хватит не только на то, чтобы нагреть весь лед до $0^\circ$С, но и на то, чтобы расплавить некоторую его часть. Следовательно, конечная температура смеси будет равна $0^\circ$С, и в сосуде будет находиться смесь воды и льда.

4. Количество теплоты $Q_3$, которое пойдет на плавление льда, равно избытку тепла от остывающей воды после нагрева льда:
$Q_3 = Q_1 - Q_2 = 84000 \text{ Дж} - 42000 \text{ Дж} = 42000 \text{ Дж}$.

5. Теперь найдем массу льда $m_{расп}$, которая расплавится за счет этой теплоты, по формуле $Q_3 = \lambda m_{расп}$:
$m_{расп} = \frac{Q_3}{\lambda} = \frac{42000 \text{ Дж}}{3,3 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг}} = \frac{42}{330} \text{ кг} = \frac{7}{55} \text{ кг}$.

6. Вопрос задачи — найти, какая часть льда расплавится. Для этого разделим массу расплавившегося льда $m_{расп}$ на его начальную массу $m_2$:
$\eta = \frac{m_{расп}}{m_2} = \frac{7/55 \text{ кг}}{2,0 \text{ кг}} = \frac{7}{55 \cdot 2} = \frac{7}{110}$.

Ответ: расплавится $\frac{7}{110}$ часть льда.