Номер 174, страница 30 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Дано:

Масса льда, $m_1 = 0,10$ кг
Начальная температура льда, $t_1 = 0,0$ °C
Масса горячей воды, $m_2 = 0,50$ кг
Начальная температура горячей воды, $t_2 = 70$ °C
Удельная теплоемкость воды, $c = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$
Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$

Все величины даны в системе СИ или совместимых с ней единицах, перевод не требуется.

Найти:

Конечную температуру смеси, $\text{t}$ - ?

Решение:

В изолированной системе (теплоемкостью калориметра пренебрегаем) количество теплоты, отданное горячей водой, равно количеству теплоты, полученному льдом.

Сначала проверим, достаточно ли тепла, которое отдаст горячая вода при остывании до 0 °C, чтобы растопить весь лед.

Количество теплоты, необходимое для плавления всего льда:
$Q_{плавления} = \lambda \cdot m_1 = 3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 0,10 \text{ кг} = 33000$ Дж.

Максимальное количество теплоты, которое может отдать горячая вода, остывая до 0 °C:
$Q_{охлаждения} = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t_1) = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 0,50 \text{ кг} \cdot (70 \text{°C} - 0 \text{°C}) = 147000$ Дж.

Так как $Q_{охлаждения} > Q_{плавления}$ (147000 Дж > 33000 Дж), весь лед растает, и конечная температура смеси $\text{t}$ будет выше 0 °C.

Составим уравнение теплового баланса. Тепло, отданное горячей водой, идет на плавление льда и на нагрев образовавшейся из него воды.
$Q_{отдано} = Q_{получено}$

Количество теплоты, отданное горячей водой при остывании от $t_2$ до $\text{t}$:
$Q_{отдано} = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t)$

Количество теплоты, полученное льдом (плавление) и образовавшейся из него водой (нагрев от $t_1$ до $\text{t}$):
$Q_{получено} = \lambda \cdot m_1 + c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$

Так как $t_1 = 0$ °C, уравнение примет вид:
$c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t) = \lambda \cdot m_1 + c \cdot m_1 \cdot t$

Решим это уравнение относительно конечной температуры $\text{t}$:
$c \cdot m_2 \cdot t_2 - c \cdot m_2 \cdot t = \lambda \cdot m_1 + c \cdot m_1 \cdot t$
$c \cdot m_2 \cdot t_2 - \lambda \cdot m_1 = c \cdot m_1 \cdot t + c \cdot m_2 \cdot t$
$c \cdot m_2 \cdot t_2 - \lambda \cdot m_1 = t \cdot (c \cdot m_1 + c \cdot m_2)$
$t = \frac{c \cdot m_2 \cdot t_2 - \lambda \cdot m_1}{c \cdot (m_1 + m_2)}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:
$t = \frac{4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 0,50 \text{ кг} \cdot 70 \text{°C} - 3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 0,10 \text{ кг}}{4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot (0,10 \text{ кг} + 0,50 \text{ кг})}$
$t = \frac{147000 \text{ Дж} - 33000 \text{ Дж}}{4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 0,60 \text{ кг}}$
$t = \frac{114000 \text{ Дж}}{2520 \frac{Дж}{\text{°C}}} \approx 45,24$ °C

Округляя до десятых, получаем $t \approx 45,2$ °C.

Ответ: конечная температура воды в калориметре составит примерно 45,2 °C.