Номер 179, страница 30 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Дано:

$t_1 = 20 \,^{\circ}\text{С}$

$t_2 = 0 \,^{\circ}\text{С}$

$\tau_1 = 10 \text{ мин}$

$m' = \frac{1}{4}m$

$c = 4200 \ \mathrm{Дж/(кг\cdot °C)}$ (удельная теплоемкость воды)

$\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ (удельная теплота плавления льда)

Перевод в систему СИ:

$\tau_1 = 10 \text{ мин} = 10 \cdot 60 \text{ с} = 600 \text{ с}$

Найти:

$\tau_2$ - ?

Решение:

Процесс отвода тепла от воды в морозильной камере можно разделить на два этапа: охлаждение воды до температуры кристаллизации и, собственно, кристаллизация (превращение в лед). Предположим, что мощность отвода тепла морозильной камерой постоянна. Обозначим эту мощность как $\text{P}$.

1. На первом этапе вода массой $\text{m}$ охлаждается от температуры $t_1$ до температуры $t_2$. Количество теплоты $Q_1$, которое было отведено от воды за время $\tau_1$, определяется формулой:

$Q_1 = c \cdot m \cdot (t_1 - t_2)$

где $\text{c}$ – удельная теплоемкость воды.

Мощность отвода тепла $\text{P}$ (количество теплоты, отводимое в единицу времени) равна:

$P = \frac{Q_1}{\tau_1} = \frac{c \cdot m \cdot (t_1 - t_2)}{\tau_1}$

2. На втором этапе происходит кристаллизация воды при постоянной температуре $t_2 = 0 \,^{\circ}\text{С}$. Необходимо определить время $\tau_2$, за которое четверть массы воды ($m' = \frac{m}{4}$) превратится в лед.

Количество теплоты $Q_2$, которое нужно отвести для кристаллизации массы воды $m'$, вычисляется по формуле:

$Q_2 = \lambda \cdot m' = \lambda \cdot \frac{m}{4}$

где $\lambda$ – удельная теплота плавления льда.

Время $\tau_2$, необходимое для отвода этого количества теплоты, при постоянной мощности $\text{P}$ равно:

$\tau_2 = \frac{Q_2}{P}$

Теперь подставим выражения для $Q_2$ и $\text{P}$ в эту формулу:

$\tau_2 = \frac{\lambda \cdot \frac{m}{4}}{\frac{c \cdot m \cdot (t_1 - t_2)}{\tau_1}} = \frac{\lambda \cdot m}{4} \cdot \frac{\tau_1}{c \cdot m \cdot (t_1 - t_2)}$

Как видно из выражения, масса воды $\text{m}$ сокращается. Это означает, что результат не зависит от начального количества воды. Получаем итоговую формулу для расчета времени $\tau_2$:

$\tau_2 = \frac{\lambda \cdot \tau_1}{4 \cdot c \cdot (t_1 - t_2)}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Удобнее оставить время $\tau_1$ в минутах, чтобы сразу получить ответ в минутах.

$\tau_2 = \frac{3.3 \cdot 10^5 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 10 \text{ мин}}{4 \cdot 4200 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \,^{\circ}\text{С}} \cdot (20 \,^{\circ}\text{С} - 0 \,^{\circ}\text{С})} = \frac{3300000}{4 \cdot 4200 \cdot 20} \text{ мин} = \frac{3300000}{336000} \text{ мин} \approx 9.82 \text{ мин}$

Ответ: четверть массы этой воды превратится в лед примерно за 9.82 минуты.