Номер 170, страница 30 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Для решения данной задачи необходимо восстановить условие предыдущей задачи. Типичная задача (например, из сборника Савченко И.Е.) формулируется следующим образом:

В калориметр, содержащий лед и воду при 0°С, впускают водяной пар при 100°С. В некоторый момент времени масса содержимого калориметра увеличилась на 20 г, после чего весь лед растаял, а температура воды стала 20°С. После этого в калориметр впустили еще 85 г пара, и температура воды поднялась до 100°С. Пренебрегая теплоемкостью калориметра, определите первоначальную массу льда.

Используя это условие, найдем отношение массы воды к первоначальной массе льда.

Дано:

$m_1 = 20$ г - масса первой порции пара
$m_2 = 85$ г - масса второй порции пара
$t_0 = 0 °C$ - начальная температура воды и льда
$t_1 = 20 °C$ - температура после добавления первой порции пара
$t_2 = 100 °C$ - конечная температура
$t_{пара} = 100 °C$ - температура пара
$c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$ - удельная теплоемкость воды
$\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$ - удельная теплота плавления льда
$L = 2.3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}$ - удельная теплота парообразования воды

В системе СИ:

$m_1 = 0.02$ кг
$m_2 = 0.085$ кг
$\Delta T_1 = t_1 - t_0 = 20$ K
$\Delta T_2 = t_2 - t_1 = 80$ K
$\Delta T_{пара} = t_{пара} - t_1 = 80$ K

Найти:

$\frac{m_в}{m_л}$ - отношение первоначальной массы воды к первоначальной массе льда.

Решение:

Обозначим $m_л$ и $m_в$ первоначальные массы льда и воды в калориметре. Процесс можно разбить на два этапа.

Этап 1: В калориметр добавляют первую порцию пара массой $m_1$.

Количество теплоты, выделившееся при конденсации пара и его охлаждении до температуры $t_1$:

$Q_{отд,1} = L \cdot m_1 + c_в \cdot m_1 \cdot (t_{пара} - t_1)$

Это тепло идет на плавление льда и нагревание всей воды (изначальной, растаявшей и сконденсировавшейся) от $t_0$ до $t_1$. Однако, для уравнения теплового баланса удобнее рассматривать тепло, поглощенное начальным содержимым калориметра:

$Q_{погл,1} = \lambda \cdot m_л + c_в \cdot (m_л + m_в) \cdot (t_1 - t_0)$

Уравнение теплового баланса для первого этапа:

$L \cdot m_1 + c_в \cdot m_1 \cdot (t_{пара} - t_1) = \lambda \cdot m_л + c_в \cdot (m_л + m_в) \cdot (t_1 - t_0)$ (1)

Этап 2: В калориметр добавляют вторую порцию пара массой $m_2$.

К этому моменту в калориметре находится вода массой $M = m_л + m_в + m_1$ при температуре $t_1$. Конечная температура становится $t_2 = 100 °C$.

Количество теплоты, выделившееся при конденсации второго пара (он не охлаждается, так как конечная температура равна температуре пара):

$Q_{отд,2} = L \cdot m_2$

Количество теплоты, поглощенное водой для нагревания от $t_1$ до $t_2$:

$Q_{погл,2} = c_в \cdot (m_л + m_в + m_1) \cdot (t_2 - t_1)$

Уравнение теплового баланса для второго этапа:

$L \cdot m_2 = c_в \cdot (m_л + m_в + m_1) \cdot (t_2 - t_1)$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $m_л$ и $m_в$.

Из уравнения (2) выразим суммарную начальную массу воды и льда $(m_л + m_в)$:

$m_л + m_в = \frac{L \cdot m_2}{c_в (t_2 - t_1)} - m_1$

Подставим числовые значения в СИ:

$m_л + m_в = \frac{2.3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг} \cdot 0.085 кг}{4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot (100°C - 20°C)} - 0.02 кг = \frac{195500}{336000} кг - 0.02 кг \approx 0.5818 \text{ кг} - 0.02 \text{ кг} = 0.5618$ кг

Теперь подставим выражение для $(m_л + m_в)$ в уравнение (1). Учтем, что $t_0 = 0°C$ и $t_{пара}=100°C$.

$L m_1 + c_в m_1 (100 - t_1) = \lambda m_л + c_в (m_л + m_в) t_1$

$\lambda m_л = L m_1 + c_в m_1 (100 - t_1) - c_в (m_л + m_в) t_1$

Подставим числовые значения:

$3.3 \cdot 10^5 \cdot m_л = 2.3 \cdot 10^6 \cdot 0.02 + 4200 \cdot 0.02 \cdot (100 - 20) - 4200 \cdot 0.5618 \cdot 20$

$3.3 \cdot 10^5 \cdot m_л = 46000 + 4200 \cdot 0.02 \cdot 80 - 47191.2$

$3.3 \cdot 10^5 \cdot m_л = 46000 + 6720 - 47191.2$

$3.3 \cdot 10^5 \cdot m_л = 52720 - 47191.2 = 5528.8$

$m_л = \frac{5528.8}{3.3 \cdot 10^5} \approx 0.01675$ кг

Теперь найдем первоначальную массу воды $m_в$:

$m_в = (m_л + m_в) - m_л = 0.5618 \text{ кг} - 0.01675 \text{ кг} = 0.54505$ кг

Наконец, найдем искомое отношение:

$\frac{m_в}{m_л} = \frac{0.54505 \text{ кг}}{0.01675 \text{ кг}} \approx 32.54$

Ответ: Отношение массы воды к первоначальной массе льда в калориметре равно примерно 32.5.