номер 12, страница 64 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

12.По формуле $a = \frac{v^2}{R}$ центростремительное ускорение обратно пропорционально радиусу $R$, а по формуле $a = \omega^2 R$ — прямо пропорционально ему. Нет ли в этом противоречия? Объясните на примерах.

12.По формуле $a = \frac{v^2}{R}$ центростремительное ускорение обратно пропорционально радиусу $R$, а по формуле $a = \omega^2 R$ — прямо пропорционально ему. Нет ли в этом противоречия? Объясните на примерах.

Ответ: Никакого противоречия здесь нет, так как характер зависимости ускорения от радиуса определяется тем, какая именно кинематическая величина остаётся неизменной при изменении радиуса окружности.

Объяснение:
Линейная скорость $v$ и угловая скорость $\omega$ не являются независимыми величинами — они связаны формулой $v = \omega R$. Поэтому при изменении радиуса $R$ невозможно одновременно зафиксировать постоянными и линейную, и угловую скорость:

• По формуле $a = \frac{v^2}{R}$ ускорение обратно пропорционально радиусу ($a \sim \frac{1}{R}$) только при условии, что линейная скорость постоянна ($v = \text{const}$). В этом случае с увеличением радиуса угловая скорость $\omega$ уменьшается.
• По формуле $a = \omega^2 R$ ускорение прямо пропорционально радиусу ($a \sim R$) только при условии, что постоянна угловая скорость ($\omega = \text{const}$). В этом случае с увеличением радиуса растёт линейная скорость $v$.

Примеры:

• Пример для постоянной линейной скорости ($v = \text{const}$): автомобиль или поезд проходит поворот дороги с заданной скоростью по спидометру, например $60\text{ км/ч}$. Чем больше радиус закругления пути $R$, тем меньше центростремительное ускорение $a$, а значит, поворот ощущается более пологим и пассажиров заносит слабее.
• Пример для постоянной угловой скорости ($\omega = \text{const}$): вращение твёрдого тела, например карусели или детской юлы. Все точки карусели совершают один оборот за одно и то же время, то есть имеют равную угловую скорость $\omega$. Чем дальше человек садится от оси вращения (чем больше $R$), тем большее центростремительное ускорение он испытывает.