номер 7, страница 63 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

7. Во сколько раз модули линейной скорости и ускорения конца минутной стрелки часов на башне Привокзальной площади Минска (рис. 95) больше модулей скорости и ускорения конца часовой стрелки? Длина минутной стрелки $R_1 = 1,70\text{ м}$, длина часовой стрелки $R_2 = 1,30\text{ м}$.

Дано:
$R_1 = 1{,}70\text{ м}$
$R_2 = 1{,}30\text{ м}$
$T_1 = 1\text{ ч}$ (период обращения минутной стрелки)
$T_2 = 12\text{ ч}$ (период обращения часовой стрелки)

Найти:
$\frac{v_1}{v_2}$ — ?
$\frac{a_1}{a_2}$ — ?

Решение:

1. Найдем отношение модулей линейных скоростей концов стрелок.
Линейная скорость точки, движущейся по окружности, определяется формулой:
$$v = \frac{2\pi R}{T}$$ (связь линейной скорости с радиусом и периодом обращения)
Тогда для минутной и часовой стрелок скорости соответственно равны:
$$v_1 = \frac{2\pi R_1}{T_1}, \quad v_2 = \frac{2\pi R_2}{T_2}$$
Запишем отношение линейных скоростей:
$$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{2\pi R_1}{T_1}}{\frac{2\pi R_2}{T_2}} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{T_2}{T_1}$$
Подставим числовые значения:
$$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1{,}70}{1{,}30} \cdot \frac{12}{1} = \frac{17}{13} \cdot 12 = \frac{204}{13} \approx 15{,}7$$

2. Найдем отношение модулей центростремительных ускорений концов стрелок.
Ускорение конца стрелки при равномерном движении по окружности является центростремительным и вычисляется по формуле:
$$a = \frac{v^2}{R} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$$ (выражение центростремительного ускорения через период)
Для минутной и часовой стрелок ускорения равны:
$$a_1 = \frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2}, \quad a_2 = \frac{4\pi^2 R_2}{T_2^2}$$
Запишем отношение ускорений:
$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2}}{\frac{4\pi^2 R_2}{T_2^2}} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$$
Подставим числовые значения:
$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1{,}70}{1{,}30} \cdot 12^2 = \frac{17}{13} \cdot 144 = \frac{2448}{13} \approx 188{,}3$$

Ответ: линейная скорость конца минутной стрелки больше примерно в $15{,}7$ раза; ускорение больше примерно в $188{,}3$ раза.