номер 6, страница 63 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

Рис. 96

6.По арене цирка — окружности диаметром $d = 13 \text{ м}$ — движется велосипедист. Модуль его линейной скорости $v = \text{const}$. За время $t = 22 \text{ с}$ радиус-вектор, задающий положение велосипедиста, повернулся на угол $\Delta\varphi = 5\pi \text{ рад}$. Определите центростремительное ускорение, угловую и линейную скорости велосипедиста, а также путь и перемещение, совершённые им за это время.

Дано:
$d = 13\text{ м}$
$v = \text{const}$
$t = 22\text{ с}$
$\Delta\varphi = 5\pi\text{ рад}$
$\pi \approx 3{,}14$

Найти: $a_{\text{ц}}$, $\omega$, $v$, $s$, $|\Delta\vec{r}|$

Решение:

1. Радиус арены цирка равен половине её диаметра:
$$R = \frac{d}{2} = \frac{13\text{ м}}{2} = 6{,}5\text{ м}$$

2. Угловая скорость движения велосипедиста определяется по формуле:
$$\omega = \frac{\Delta\varphi}{t}$$ Подставим числовые значения (учитывая, что $\pi \approx \frac{22}{7} \approx 3{,}14$):
$$\omega = \frac{5\pi}{22} \approx \frac{5 \cdot 3{,}14}{22} \approx 0{,}71\text{ рад/с}$$

3. Линейная скорость связана с угловой соотношением:
$$v = \omega R$$ $$v = 0{,}714\text{ рад/с} \cdot 6{,}5\text{ м} \approx 4{,}64\text{ м/с}$$

4. Центростремительное ускорение выражается формулой:
$$a_{\text{ц}} = \omega^2 R = \frac{v^2}{R}$$ $$a_{\text{ц}} = (0{,}714\text{ рад/с})^2 \cdot 6{,}5\text{ м} \approx 3{,}32\text{ м/с}^2$$

5. Путь $s$ при равномерном движении по окружности равен длине пройденной дуги:
$$s = R \cdot \Delta\varphi = 6{,}5\text{ м} \cdot 5\pi \approx 32{,}5 \cdot 3{,}14\text{ м} \approx 102{,}1\text{ м}$$

6. Перемещение $|\Delta\vec{r}|$ — это длина вектора, соединяющего начальное и конечное положения тела.
Полный оборот равен $2\pi\text{ рад}$. Угол поворота составляет:
$$\Delta\varphi = 5\pi\text{ рад} = 2 \cdot 2\pi + \pi\text{ рад}$$ Это означает, что велосипедист совершил $2{,}5$ оборота (два полных круга и ещё половину окружности) и оказался в диаметрально противоположной точке траектории. Следовательно, модуль перемещения равен диаметру арены:
$$|\Delta\vec{r}| = d = 13\text{ м}$$

Ответ: $a_{\text{ц}} \approx 3{,}32\text{ м/с}^2$; $\omega \approx 0{,}71\text{ рад/с}$; $v \approx 4{,}64\text{ м/с}$; $s \approx 102{,}1\text{ м}$; $|\Delta\vec{r}| = 13\text{ м}$.