номер 6, страница 116 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

6.Груз подвешен к пружинному динамометру. Показания динамометра $F = 34 \text{ Н}$. Определите массу груза, если взвешивание проведено в вагоне поезда, который движется по закруглённому участку пути радиусом $R = 75 \text{ м}$. Участок пути горизонтален. Модуль скорости поезда постоянен и равен $v = 72 \frac{\text{КМ}}{\text{ч}}$.

Дано:
$F = 34\text{ Н}$
$R = 75\text{ м}$
$v = 72\text{ км/ч} = 20\text{ м/с}$
$g = 10\text{ м/с}^2$
Найти: $m$

Решение:
При движении вагона по горизонтальному закругленному участку груз движется по окружности с центростремительным ускорением $a_{\text{ц}}$, направленным горизонтально к центру кривизны пути:
$$a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{R}$$

На груз действуют две силы:

• сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз;
• сила упругости пружины динамометра $\vec{F}$, удерживающая груз под углом к вертикали.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
$$m\vec{g} + \vec{F} = m\vec{a}_{\text{ц}}$$

Спроецируем силы на координатные оси (ось $Ox$ направим горизонтально к центру поворота, ось $Oy$ — вертикально вверх):

• по оси $Oy$: $F_y - mg = 0 \implies F_y = mg$ (по вертикали ускорение равно нулю);
• по оси $Ox$: $F_x = m a_{\text{ц}} = m \frac{v^2}{R}$ (горизонтальная составляющая сообщает центростремительное ускорение).

Показание динамометра $F$ равно модулю силы упругости, которая находится по теореме Пифагора через свои проекции:
$$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{\left(m \frac{v^2}{R}\right)^2 + (mg)^2} = m \sqrt{\left(\frac{v^2}{R}\right)^2 + g^2}$$

Выразим массу тела $m$:
$$m = \frac{F}{\sqrt{\left(\frac{v^2}{R}\right)^2 + g^2}}$$

Рассчитаем центростремительное ускорение:
$$a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{R} = \frac{20^2}{75} = \frac{400}{75} = \frac{16}{3}\text{ м/с}^2$$

Подставим значения в общую формулу:
$$m = \frac{34}{\sqrt{\left(\frac{16}{3}\right)^2 + 10^2}} = \frac{34}{\sqrt{\frac{256}{9} + 100}} = \frac{34}{\sqrt{\frac{1156}{9}}} = \frac{34}{\frac{34}{3}} = \frac{34 \cdot 3}{34} = 3\text{ кг}$$

Ответ: $m = 3\text{ кг}$