номер 7, страница 116 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

7.Самолёт летит в горизонтальной плоскости по дуге окружности радиусом $R = 180 \text{ м}$ со скоростью, модуль которой $v = 324 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$. Во сколько раз модуль веса лётчика больше модуля силы тяжести, действующей на него?

Дано:
$R = 180\text{ м}$
$v = 324\text{ км/ч} = 324 \cdot \frac{1000\text{ м}}{3600\text{ с}} = 90\text{ м/с}$
$g \approx 10\text{ м/с}^2$
Найти: $\frac{P}{F_{\text{т}}}$

Решение:

1. Найдём центростремительное ускорение самолёта при его движении по дуге окружности в горизонтальной плоскости:
$$a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{R}$$ Подставим числовые значения:
$$a_{\text{ц}} = \frac{90^2}{180} = \frac{8100}{180} = 45\text{ м/с}^2$$

2. Рассмотрим силы, действующие на лётчика со стороны Земли и кресла самолёта. На лётчика действуют две силы:

• сила тяжести $\vec{F}_{\text{т}} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз;
• сила реакции опоры $\vec{N}$ (со стороны сиденья), направленная под некоторым углом к горизонту.

По второму закону Ньютона: $$m\vec{a}_{\text{ц}} = m\vec{g} + \vec{N}$$

Спроецируем уравнение на координатные оси:

• На вертикальную ось $OY$ ускорение равно нулю, следовательно: $N_y - mg = 0 \implies N_y = mg$;
• На горизонтальную ось $OX$, направленную к центру окружности: $N_x = m a_{\text{ц}}$.

Так как проекции взаимно перпендикулярны, модуль полной силы реакции опоры находится по теореме Пифагора: $$N = \sqrt{N_x^2 + N_y^2} = \sqrt{(m a_{\text{ц}})^2 + (m g)^2} = m \sqrt{a_{\text{ц}}^2 + g^2}$$

3. По третьему закону Ньютона вес лётчика $\vec{P}$ (сила, с которой лётчик давит на сиденье) по модулю равен силе реакции опоры: $$P = N = m \sqrt{a_{\text{ц}}^2 + g^2}$$

Модуль силы тяжести равен: $$F_{\text{т}} = mg$$

4. Найдём отношение модуля веса к модулю силы тяжести: $$\frac{P}{F_{\text{т}}} = \frac{m \sqrt{a_{\text{ц}}^2 + g^2}}{mg} = \frac{\sqrt{a_{\text{ц}}^2 + g^2}}{g} = \sqrt{1 + \left(\frac{a_{\text{ц}}}{g}\right)^2}$$

Подставим значения: $$\frac{P}{F_{\text{т}}} = \sqrt{1 + \left(\frac{45}{10}\right)^2} = \sqrt{1 + 4{,}5^2} = \sqrt{1 + 20{,}25} = \sqrt{21{,}25} \approx 4{,}61$$(если использовать значение $g = 9{,}8\text{ м/с}^2$, то $\frac{P}{F_{\text{т}}} = \frac{\sqrt{45^2 + 9{,}8^2}}{9{,}8} \approx 4{,}7$).

Ответ: модуль веса лётчика больше модуля силы тяжести примерно в $4{,}6$ раза (или приблизительно в $4{,}7$ раза при $g = 9{,}8\text{ м/с}^2$).