номер 6, страница 121 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

6.На катушку массой $m = 90 \text{ г}$ намотана нить (рис. 179). Диаметр катушки $D = 6,0 \text{ см}$, радиус намотки нити $r = 2,0 \text{ см}$. Определите модуль силы натяжения $F$ нити, удерживающей катушку в покое на наклонной плоскости. Угол наклона на плоскости к горизонту $\alpha = 30^\circ$, $g = 10 \frac{\text{М}}{\text{с}^2}$.

Дано:
$m = 90\text{ г} = 0{,}09\text{ кг}$
$D = 6{,}0\text{ см} \implies R = \frac{D}{2} = 3{,}0\text{ см} = 0{,}03\text{ м}$
$r = 2{,}0\text{ см} = 0{,}02\text{ м}$
$\alpha = 30^\circ$
$g = 10\text{ м/с}^2$
Найти: $F$

Решение:

На катушку, находящуюся в покое на наклонной плоскости, действуют следующие силы:

• сила тяжести $m\vec{g}$, приложенная к центру масс катушки;
• сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости;
• сила трения покоя $\vec{F}_{\text{тр}}$, направленная вдоль наклонной плоскости;
• сила натяжения нити $\vec{F}$, направленная вдоль нити вверх по наклонной плоскости.

Катушка находится в равновесии, поэтому сумма моментов всех сил относительно любой оси вращения равна нулю (правило моментов).

Выберем ось вращения, проходящую через точку касания катушки с наклонной плоскостью перпендикулярно плоскости рисунка. Относительно этой оси плечи силы реакции опоры $\vec{N}$ и силы трения $\vec{F}_{\text{тр}}$ равны нулю, поэтому их моменты сил равны нулю.

На катушку создают вращающие моменты только две силы:

• Сила тяжести: её составляющая вдоль наклонной плоскости $m g \sin\alpha$ пытается повернуть катушку вниз. Плечо этой силы относительно точки касания равно внешнему радиусу катушки $R = \frac{D}{2}$.
• Сила натяжения нити $\vec{F}$: линия действия нити параллельна наклонной плоскости и находится на расстоянии $R + r$ от плоскости, поэтому её плечо равно $R + r$. Она удерживает катушку от скатывания.

Запишем условие равновесия моментов сил относительно точки касания:

$$F \cdot (R + r) - m g \sin\alpha \cdot R = 0$$

Отсюда выразим силу натяжения нити $F$:

$$F = m g \sin\alpha \cdot \frac{R}{R + r}$$

Подставим числовые значения:

$$F = 0{,}09 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ \cdot \frac{3{,}0}{3{,}0 + 2{,}0} = 0{,}9 \cdot 0{,}5 \cdot \frac{3{,}0}{5{,}0} = 0{,}45 \cdot 0{,}6 = 0{,}27\text{ Н}$$

Ответ: $F = 0{,}27\text{ Н}$