номер 8, страница 127 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

8.Сначала две гири массами $m_1 = 2,0 \text{ кг}$ и $m_2 = 1,2 \text{ кг}$, подвешенные на концах невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый неподвижный блок, удерживали в покое. Затем гири отпустили, и каждая из них прошла путь $s = 0,80 \text{ м}$. Определите ускорения гирь и их скорости в конце пути.

8.Дано:
$m_1 = 2{,}0\text{ кг}$
$m_2 = 1{,}2\text{ кг}$
$s = 0{,}80\text{ м}$
$v_0 = 0\text{ м/с}$
$g = 9{,}8\text{ м/с}^2$
Найти: $a$, $v$

Решение:

Так как нить считается невесомой и нерастяжимой, а блок — невесомым и идеальным (трение на оси отсутствует), выполняются следующие условия:

• ускорения обеих гирь равны по модулю: $a_1 = a_2 = a$;
• сила натяжения нити одинакова по всей длине: $T_1 = T_2 = T$.

Поскольку $m_1 > m_2$, первая гиря будет опускаться с ускорением $a$, а вторая — подниматься с таким же ускорением $a$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в векторной форме:
$$m_1\vec{g} + \vec{T}_1 = m_1\vec{a}_1$$ $$m_2\vec{g} + \vec{T}_2 = m_2\vec{a}_2$$

Спроецируем силы на направление движения каждого из тел (для первой гири — вниз, для второй — вверх):
$$m_1 g - T = m_1 a$$ $$T - m_2 g = m_2 a$$

Сложим почленно полученные уравнения системы:
$$m_1 g - m_2 g = m_1 a + m_2 a$$ $$(m_1 - m_2)g = (m_1 + m_2)a$$

Отсюда выразим ускорение гирь:
$$a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g$$

Подставим числовые значения:
$$a = \frac{2{,}0\text{ кг} - 1{,}2\text{ кг}}{2{,}0\text{ кг} + 1{,}2\text{ кг}} \cdot 9{,}8\text{ м/с}^2 = \frac{0{,}8}{3{,}2} \cdot 9{,}8\text{ м/с}^2 = \frac{1}{4} \cdot 9{,}8\text{ м/с}^2 = 2{,}45\text{ м/с}^2$$(Если принять $g = 10\text{ м/с}^2$, то $a = 2{,}5\text{ м/с}^2$).

Движение гирь равноускоренное без начальной скорости ($v_0 = 0$). Связь пройденного пути со скоростью и ускорением выражается формулой:
$$s = \frac{v^2}{2a} \implies v = \sqrt{2as}$$

Вычислим скорость гирь в конце пути:
$$v = \sqrt{2 \cdot 2{,}45\text{ м/с}^2 \cdot 0{,}80\text{ м}} = \sqrt{3{,}92\text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 1{,}98\text{ м/с} \approx 2{,}0\text{ м/с}$$(При $a = 2{,}5\text{ м/с}^2$: $v = \sqrt{2 \cdot 2{,}5 \cdot 0{,}80} = \sqrt{4{,}0} = 2{,}0\text{ м/с}$).

Ответ: $a = 2{,}45\text{ м/с}^2$ (или $2{,}5\text{ м/с}^2$); $v \approx 2{,}0\text{ м/с}$.