номер 9, страница 127 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

9.Два цилиндра — стальной и алюминиевый — одинакового объёма подвесили к концам невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий неподвижный блок. Какой путь пройдёт каждый цилиндр за время $t = 0,50 \text{ с}$? Начальная скорость цилиндров равна нулю. Силами сопротивления пренебречь.

Дано:
$V_1 = V_2 = V$
$\rho_1 = 7800\text{ кг/м}^3$ (плотность стали)
$\rho_2 = 2700\text{ кг/м}^3$ (плотность алюминия)
$t = 0{,}50\text{ с}$
$v_0 = 0\text{ м/с}$
$g \approx 9{,}8\text{ м/с}^2$
Найти: $s$

Решение:
Массы цилиндров определяются через их плотность и объём: $$m_1 = \rho_1 V, \quad m_2 = \rho_2 V$$ Так как плотность стали больше плотности алюминия ($\rho_1 > \rho_2$), то масса стального цилиндра больше ($m_1 > m_2$). Следовательно, стальной цилиндр будет опускаться с ускорением $a$, а алюминиевый — подниматься с таким же по модулю ускорением $a$ (нить нерастяжима).

На каждый из цилиндров действуют две силы: сила тяжести, направленная вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вверх. Поскольку нить и блок невесомы, а трение отсутствует, сила натяжения нити одинакова с обеих сторон блока. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на направление движения для каждого тела:
Для стального цилиндра (движется вниз): $$m_1 g - T = m_1 a$$ Для алюминиевого цилиндра (движется вверх): $$T - m_2 g = m_2 a$$

Сложим эти два уравнения почленно, чтобы исключить силу натяжения нити $T$: $$m_1 g - m_2 g = m_1 a + m_2 a$$ $$(m_1 - m_2)g = (m_1 + m_2)a$$ Отсюда выразим модуль ускорения цилиндров: $$a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}g$$ Подставим выражения для масс через плотность и объём: $$a = \frac{\rho_1 V - \rho_2 V}{\rho_1 V + \rho_2 V}g = \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 + \rho_2}g$$

Вычислим значение ускорения: $$a = \frac{7800 - 2700}{7800 + 2700} \cdot 9{,}8 = \frac{5100}{10500} \cdot 9{,}8 = \frac{17}{35} \cdot 9{,}8 = 4{,}76\text{ м/с}^2$$(если использовать приближение $g \approx 10\text{ м/с}^2$, то $a \approx 4{,}86\text{ м/с}^2$)

Так как начальная скорость цилиндров равна нулю ($v_0 = 0$), путь, пройденный каждым цилиндром за время $t$ при равноускоренном движении, находится по формуле: $$s = \frac{a t^2}{2}$$ Подставим числовые значения: $$s = \frac{4{,}76 \cdot (0{,}50)^2}{2} = \frac{4{,}76 \cdot 0{,}25}{2} = \frac{1{,}19}{2} = 0{,}595\text{ м} \approx 0{,}60\text{ м}$$

Ответ: $s \approx 0{,}60\text{ м}$ (или $59{,}5\text{ см}$).