номер 5, страница 127 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

5.Однородная линейка длиной $l = 100$ см висит на нити. К линейке подвешены два груза массами $m_1 = 0,40$ кг, $m_2 = 0,20$ кг и прикреплён динамометр (рис. 193). Определите показания динамометра, если линейка находится в равновесии. Как изменятся показания динамометра, если грузы поменять местами? В этой и последующих задачах принять $g = 10 \frac{М}{с^2}$.

5.Дано:
$l = 100\text{ см} = 1{,}0\text{ м}$
$m_1 = 0{,}40\text{ кг}$
$m_2 = 0{,}20\text{ кг}$
$g = 10\text{ м/с}^2$
По шкале линейки на рисунке определим координаты точек подвеса и плечи сил относительно оси вращения (точки крепления нити на делении $50\text{ см}$):
Линейка подвешена посередине, в точке $x_0 = 50\text{ см}$, следовательно, её центр тяжести совпадает с точкой подвеса и момент силы тяжести самой линейки равен нулю.
Координата первого груза: $x_1 = 10\text{ см}$, плечо силы $d_1 = |50\text{ см} - 10\text{ см}| = 40\text{ см} = 0{,}4\text{ м}$.
Координата второго груза: $x_2 = 60\text{ см}$, плечо силы $d_2 = |60\text{ см} - 50\text{ см}| = 10\text{ см} = 0{,}1\text{ м}$.
Координата динамометра: $x_д = 90\text{ см}$, плечо силы $d_д = |90\text{ см} - 50\text{ см}| = 40\text{ см} = 0{,}4\text{ м}$.

Найти: $F_1$, $F_2$, $\Delta F$.

Решение:
Линейка представляет собой рычаг с осью вращения в точке подвеса $x_0 = 50\text{ см}$.
Для равновесия рычага должно выполняться правило моментов: сумма моментов сил, вращающих рычаг против часовой стрелки, должна быть равна сумме моментов сил, вращающих его по часовой стрелке.
Момент силы определяется по формуле: $M = F \cdot d$ (где $F$ — сила, $d$ — плечо силы).

1. Найдём показания динамометра в первом случае:
Груз $m_1$ стремится повернуть линейку против часовой стрелки, создавая момент:
$M_1 = m_1 g \cdot d_1$
Груз $m_2$ и динамометр тянут вниз справа от точки опоры, стремясь повернуть линейку по часовой стрелке. Их моменты:
$M_2 = m_2 g \cdot d_2$
$M_д = F_1 \cdot d_д$
Запишем условие равновесия:
$$m_1 g \cdot d_1 = m_2 g \cdot d_2 + F_1 \cdot d_д$$ Выразим силу натяжения динамометра $F_1$:
$$F_1 = \frac{m_1 g \cdot d_1 - m_2 g \cdot d_2}{d_д}$$ Подставим числовые значения:
$$F_1 = \frac{0{,}40 \cdot 10 \cdot 0{,}4 - 0{,}20 \cdot 10 \cdot 0{,}1}{0{,}4} = \frac{1{,}6 - 0{,}2}{0{,}4} = \frac{1{,}4}{0{,}4} = 3{,}5\text{ Н}$$

2. Найдём показания динамометра, если поменять грузы местами:
Теперь на делении $10\text{ см}$ подвешен груз $m_2$, а на делении $60\text{ см}$ — груз $m_1$.
Запишем условие равновесия для нового случая:
$$m_2 g \cdot d_1 = m_1 g \cdot d_2 + F_2 \cdot d_д$$ Выразим показания динамометра $F_2$:
$$F_2 = \frac{m_2 g \cdot d_1 - m_1 g \cdot d_2}{d_д}$$ Подставим числовые значения:
$$F_2 = \frac{0{,}20 \cdot 10 \cdot 0{,}4 - 0{,}40 \cdot 10 \cdot 0{,}1}{0{,}4} = \frac{0{,}8 - 0{,}4}{0{,}4} = \frac{0{,}4}{0{,}4} = 1\text{ Н}$$

3. Изменение показаний:
$\Delta F = F_1 - F_2 = 3{,}5\text{ Н} - 1\text{ Н} = 2{,}5\text{ Н}$ (показания уменьшатся на $2{,}5\text{ Н}$ или в $3{,}5$ раза).

Ответ: первоначальные показания динамометра равны $3{,}5\text{ Н}$; если грузы поменять местами, показания динамометра уменьшатся до $1\text{ Н}$ (то есть уменьшатся на $2{,}5\text{ Н}$).