Экспериментальное задание, страница 132 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

Оцените КПД доски, наклонённой под углом $30^\circ$ к горизонту.

Оцените КПД доски, наклонённой под углом $30^\circ$ к горизонту.

Дано:
$\alpha = 30^\circ$
$\mu \approx 0{,}3$ (характерный коэффициент трения дерева по дереву для школьных лабораторных установок)
Найти: $\eta$

Решение:

Наклонная доска представляет собой простой механизм — наклонную плоскость. Коэффициент полезного действия (КПД) определяется отношением полезной работы к полной (затраченной):

$$\eta = \frac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{затр}}} \cdot 100\%$$

Полезная работа заключается в подъеме тела массы $m$ на высоту $h$:

$$A_{\text{пол}} = mgh$$

Если длина доски равна $L$, то высота подъёма выражается через угол наклона:

$$h = L \cdot \sin\alpha$$

Затраченная работа равна работе внешней силы $F$, необходимой для равномерного перемещения тела вверх вдоль доски на расстояние $L$:

$$A_{\text{затр}} = F \cdot L$$

При равномерном движении сила тяги преодолевает проекцию силы тяжести и силу трения скольжения:

$$F = mg \sin\alpha + F_{\text{тр}} = mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha$$

Подставим формулы работы в выражение для КПД:

$$\eta = \frac{mg L \sin\alpha}{mg (\sin\alpha + \mu \cos\alpha) L} = \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha + \mu \cos\alpha} = \frac{1}{1 + \mu \operatorname{ctg}\alpha}$$

Рассмотрим два возможных случая:

• 1.Идеальный случай (трение отсутствует, $\mu = 0$):
  $\eta = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 30^\circ} = 1 = 100\%$.
• 2.Реальный случай (типичный для школьного опыта с бруском на деревянной доске):
  Коэффициент трения скольжения дерева по дереву лежит в диапазоне $\mu \approx 0{,}2 \dots 0{,}4$. Возьмём среднее значение $\mu \approx 0{,}3$.
  Так как $\sin 30^\circ = 0{,}5$, а $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$:
  $$\eta = \frac{0{,}5}{0{,}5 + 0{,}3 \cdot 0{,}866} = \frac{0{,}5}{0{,}5 + 0{,}26} = \frac{0{,}5}{0{,}76} \approx 0{,}66 \text{ (или } 66\%)$$

Ответ: в реальных условиях КПД доски составляет порядка $60\text{–}70\%$ (без учёта трения — $100\%$).