номер 3, страница 159 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

3.Лодка массой $m_1 = 100 \text{ кг}$ движется по озеру с постоянной скоростью, модуль которой $v_1 = 1,5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. С лодки прыгает мальчик массой $m_2 = 40 \text{ кг}$. Определите модуль скорости и направление движения лодки после прыжка мальчика, если мальчик прыгнет:

а) с носа лодки в направлении её движения со скоростью, модуль которой $v_2 = 2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$;

б) так же, как в предыдущем случае, но при $v_2 = 6,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$;

в) с кормы в направлении, противоположном движению лодки, при $v_2 = 2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Определите также направление и модуль скорости, с которой должен прыгнуть мальчик, чтобы лодка остановилась. Все скорости рассматриваются в системе отсчёта «берег». В этой задаче, а также в задачах 4, 5 и 7 силой сопротивления воды пренебречь. Проанализируйте, безопасными ли являются прыжки в ситуациях, описанных в задаче.

Дано:
$m_1 = 100\text{ кг}$
$m_2 = 40\text{ кг}$
$v_1 = 1,5\text{ м/с}$
а) $v_{2\text{а}} = 2,0\text{ м/с}$ (по ходу движения)
б) $v_{2\text{б}} = 6,0\text{ м/с}$ (по ходу движения)
в) $v_{2\text{в}} = 2,0\text{ м/с}$ (против движения)
г) $u = 0\text{ м/с}$

Найти:
$u_{\text{а}}$, $u_{\text{б}}$, $u_{\text{в}}$, $v_{2\text{г}}$

Решение:
Будем рассматривать систему «лодка — мальчик». Так как сопротивлением воды пренебрегаем, внешние силы в горизонтальном направлении не действуют, и мы можем применить закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось $Ox$, направленную вдоль первоначального движения лодки.
Начальный импульс системы равен суммарному импульсу лодки и мальчика: $$p_{0x} = (m_1 + m_2) v_1$$ После прыжка импульс системы равен сумме импульса мальчика и лодки: $$p_{x} = m_1 u_x + m_2 v_{2x}$$ По закону сохранения импульса: $$(m_1 + m_2) v_1 = m_1 u_x + m_2 v_{2x}$$ Отсюда выразим скорость лодки $u_x$: $$u_x = \frac{(m_1 + m_2) v_1 - m_2 v_{2x}}{m_1}$$ Рассчитаем начальный суммарный импульс: $$(m_1 + m_2) v_1 = (100 + 40) \cdot 1,5 = 140 \cdot 1,5 = 210\text{ кг}\cdot\text{м/с}$$

а)Мальчик прыгает вперед со скоростью $v_{2x} = 2,0\text{ м/с}$:
$$u_x = \frac{210 - 40 \cdot 2,0}{100} = \frac{210 - 80}{100} = \frac{130}{100} = 1,3\text{ м/с}$$ Так как $u_x > 0$, лодка продолжает движение в первоначальном направлении с модулем скорости $u = 1,3\text{ м/с}$.

б)Мальчик прыгает вперед со скоростью $v_{2x} = 6,0\text{ м/с}$:
$$u_x = \frac{210 - 40 \cdot 6,0}{100} = \frac{210 - 240}{100} = \frac{-30}{100} = -0,3\text{ м/с}$$ Знак «минус» показывает, что лодка изменила направление на противоположное первоначальному. Модуль скорости лодки равен $u = 0,3\text{ м/с}$.

в)Мальчик прыгает назад со скоростью $v_{2x} = -2,0\text{ м/с}$:
$$u_x = \frac{210 - 40 \cdot (-2,0)}{100} = \frac{210 + 80}{100} = \frac{290}{100} = 2,9\text{ м/с}$$ Так как $u_x > 0$, лодка движется в первоначальном направлении с модулем скорости $u = 2,9\text{ м/с}$.

г)Найдем скорость и направление прыжка мальчика, чтобы лодка остановилась ($u_x = 0$):
$$(m_1 + m_2) v_1 = m_2 v_{2x} \implies v_{2x} = \frac{(m_1 + m_2) v_1}{m_2}$$ $$v_{2x} = \frac{210}{40} = 5,25\text{ м/с}$$ Модуль скорости равен $5,25\text{ м/с}$, направление — в сторону первоначального движения лодки.

Анализ безопасности:
Все описанные прыжки являются небезопасными. Лодка не закреплена и при отталкивании легко уходит из-под ног из-за отдачи. Это приводит к потере равновесия, падению в воду или риску удариться о борт лодки. Кроме того, развить скорость прыжка $5,25\text{ м/с}$ или $6,0\text{ м/с}$ с неустойчивой плавающей опоры для человека практически невозможно без серьезного риска травмирования.

Ответ:
а) $1,3\text{ м/с}$, по направлению движения лодки;
б) $0,3\text{ м/с}$, противоположно направлению первоначального движения лодки;
в) $2,9\text{ м/с}$, по направлению движения лодки;
г) $5,25\text{ м/с}$, по направлению движения лодки. Все прыжки небезопасны.