номер 8, страница 159 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

8.Три мальчика бегут друг за другом с одинаковой скоростью. Первый мальчик прыгает в неподвижную тележку, оказавшуюся на его пути. Тележка приобретает скорость $v_1 = 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Затем в эту же тележку прыгает второй мальчик, и скорость движения тележки становится $v_2 = 1,5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. С какой скоростью будет двигаться тележка после того, как в неё запрыгнет третий мальчик? Массы мальчиков одинаковы. Трение не учитывать.

Дано:
$v_1 = 1{,}0\text{ м/с}$
$v_2 = 1{,}5\text{ м/с}$
$m_1 = m_2 = m_3 = m$
$u_1 = u_2 = u_3 = u$
$v_0 = 0\text{ м/с}$
Найти: $v_3$

Решение:

Так как трение отсутствует, система «мальчики — тележка» является замкнутой в горизонтальном направлении. Для каждого случая применим закон сохранения импульса в проекции на направление движения тележки.

Пусть $m$ — масса каждого мальчика, $M$ — масса тележки, а $u$ — начальная скорость бега мальчиков.

1. Первый мальчик запрыгивает в неподвижную тележку:
(по закону сохранения импульса)
$$m u = (M + m) v_1$$

Так как $v_1 = 1{,}0\text{ м/с}$, получаем:
$$m u = M + m \implies M = m(u - 1)$$

2. Второй мальчик запрыгивает в тележку, в которой уже находится первый:
Суммарный импульс системы перед прыжком второго мальчика равен сумме импульса тележки с первым мальчиком и импульса второго мальчика. Так как импульс тележки с первым мальчиком равен $m u$, общий импульс системы составляет:
$$p_2 = m u + m u = 2 m u$$

После того как второй мальчик оказывается в тележке, общая масса становится равной $(M + 2m)$, а скорость — $v_2$:
$$2 m u = (M + 2m) v_2$$

Подставим $v_2 = 1{,}5\text{ м/с}$:
$$2 m u = 1{,}5 (M + 2m)$$
$$2 m u = 1{,}5 M + 3 m$$

Подставим выражение $M = m(u - 1)$ в данное уравнение:
$$2 m u = 1{,}5 m(u - 1) + 3 m$$

Разделим обе части уравнения на $m \neq 0$:
$$2 u = 1{,}5 u - 1{,}5 + 3$$
$$0{,}5 u = 1{,}5 \implies u = 3\text{ м/с}$$

Теперь найдём массу тележки $M$ через массу мальчика $m$:
$$M = m(3 - 1) = 2m$$

3. Третий мальчик запрыгивает в тележку:
Полный импульс системы после добавления третьего мальчика составит:
$$p_3 = 3 m u$$

Масса тележки с тремя мальчиками равна $(M + 3m)$. Запишем закон сохранения импульса для этого состояния:
$$3 m u = (M + 3m) v_3$$

Выразим скорость $v_3$:
$$v_3 = \frac{3 m u}{M + 3m}$$

Подставим $M = 2m$ и $u = 3\text{ м/с}$:
$$v_3 = \frac{3 m \cdot 3}{2m + 3m} = \frac{9m}{5m} = \frac{9}{5} = 1{,}8\text{ м/с}$$

Ответ: $v_3 = 1{,}8\text{ м/с}$