Номер 2, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

2. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $\angle ACB = 40^\circ$. Найдите $\angle COD$.

а) $40^\circ$;

б) $50^\circ$;

в) $80^\circ$;

г) $60^\circ$.

Поскольку $ABCD$ является прямоугольником, все его внутренние углы равны $90^\circ$. Следовательно, угол $\angle BCD = 90^\circ$.

Угол $\angle BCD$ состоит из двух углов: $\angle ACB$ и $\angle ACD$. По условию задачи $\angle ACB = 40^\circ$. Мы можем найти величину угла $\angle ACD$, вычтя известный угол из прямого угла: $\angle ACD = \angle BCD - \angle ACB = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.

Диагонали прямоугольника имеют два важных свойства: они равны друг другу ($AC = BD$) и в точке пересечения $O$ делятся пополам ($AO = OC$ и $BO = OD$). Из этих двух свойств следует, что все четыре отрезка от вершин до точки пересечения равны: $AO = OC = BO = OD$.

Рассмотрим треугольник $OCD$. Так как $OC = OD$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $CD$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В треугольнике $OCD$ это углы $\angle OCD$ и $\angle ODC$. Следовательно, $\angle ODC = \angle OCD$.

Мы уже определили, что $\angle OCD$ (который является тем же углом, что и $\angle ACD$) равен $50^\circ$. Значит, $\angle ODC$ также равен $50^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $OCD$ справедливо равенство: $\angle COD + \angle OCD + \angle ODC = 180^\circ$.

Подставим известные значения углов в это равенство, чтобы найти искомый угол $\angle COD$:
$\angle COD + 50^\circ + 50^\circ = 180^\circ$
$\angle COD + 100^\circ = 180^\circ$
$\angle COD = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Ответ: 80°.