Номер 4, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

4. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $AC = 16$ см, $AB = 20$ см. Найдите площадь треугольника $ABC$.

а) $160$ см$^2$;

б) $320$ см$^2$;

в) $48$ см$^2$;

г) $96$ см$^2$.

Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Это означает, что треугольник является прямоугольным, где $AC$ и $BC$ — катеты, а $AB$ — гипотенуза.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$.

Нам известна длина катета $AC = 16$ см и гипотенузы $AB = 20$ см. Чтобы найти площадь, необходимо сначала вычислить длину второго катета $BC$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

Подставим известные значения в формулу:

$16^2 + BC^2 = 20^2$

$256 + BC^2 = 400$

Теперь найдем $BC^2$:

$BC^2 = 400 - 256$

$BC^2 = 144$

$BC = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь, когда известны оба катета ($AC = 16$ см и $BC = 12$ см), мы можем вычислить площадь треугольника $ABC$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96$ см².

Ответ: г) 96 см².