Номер 8, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

8. $AB$ и $AC$ — касательные к окружности, $B$ и $C$ — точки касания, $\angle BAC = 64^\circ$. Точки $B$ и $C$ разбивают окружность на две дуги. Найдите градусную меру большей из них.

а) $128^\circ$; б) $116^\circ$;

в) $296^\circ$; г) $244^\circ$.

Пусть O — центр окружности, к которой проведены касательные AB и AC. Проведем радиусы OB и OC в точки касания B и C.

По свойству касательных, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$. Это означает, что углы $\angle OBA$ и $\angle OCA$ являются прямыми, то есть их градусная мера равна $90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника ABOC можно записать равенство:
$\angle BAC + \angle OBA + \angle OCA + \angle BOC = 360^\circ$

Из условия задачи известно, что $\angle BAC = 64^\circ$. Подставим все известные значения в уравнение:
$64^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle BOC = 360^\circ$
$244^\circ + \angle BOC = 360^\circ$

Из этого уравнения найдем величину центрального угла $\angle BOC$:
$\angle BOC = 360^\circ - 244^\circ = 116^\circ$

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Угол $\angle BOC$ является центральным и опирается на меньшую дугу BC. Следовательно, градусная мера меньшей дуги BC равна $116^\circ$.

Точки B и C делят окружность на две дуги: меньшую и большую. Вся окружность составляет $360^\circ$. Чтобы найти градусную меру большей дуги, необходимо из градусной меры всей окружности вычесть меру меньшей дуги:
Градусная мера большей дуги = $360^\circ - 116^\circ = 244^\circ$.

Ответ: 244°.