Тест 2, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

a) $ \sin \varphi = \dots $

б) $ \cos \varphi = \dots $

в) $ \text{tg} \varphi = \dots $

г) $ \text{ctg} \varphi = \dots $

Для решения этой задачи необходимо найти значения тригонометрических функций для угла φ в прямоугольном треугольнике. Сначала определим длины сторон треугольника по клеткам на изображении.

Катет k, который является прилежащим к углу φ, имеет длину 3 единицы.

Катет m, который является противолежащим углу φ, имеет длину 4 единицы.

Гипотенузу p найдем по теореме Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ($a^2 + b^2 = c^2$).

$p^2 = k^2 + m^2$

Подставим известные значения длин катетов:

$p^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Следовательно, длина гипотенузы $p = \sqrt{25} = 5$ единиц.

Теперь, зная длины всех сторон (противолежащий катет $m=4$, прилежащий катет $k=3$, гипотенуза $p=5$), мы можем вычислить значения тригонометрических функций.

a) sin φ = ...

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Для угла φ противолежащим катетом является сторона m, а гипотенузой — сторона p.

$sin\ φ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{m}{p} = \frac{4}{5}$

Ответ: $sin\ φ = \frac{4}{5}$

б) cos φ = ...

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Для угла φ прилежащим катетом является сторона k, а гипотенузой — сторона p.

$cos\ φ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{k}{p} = \frac{3}{5}$

Ответ: $cos\ φ = \frac{3}{5}$

в) tg φ = ...

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Для угла φ противолежащим катетом является сторона m, а прилежащим — сторона k.

$tg\ φ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{m}{k} = \frac{4}{3}$

Ответ: $tg\ φ = \frac{4}{3}$

г) ctg φ = ...

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

Для угла φ прилежащим катетом является сторона k, а противолежащим — сторона m.

$ctg\ φ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{k}{m} = \frac{3}{4}$

Ответ: $ctg\ φ = \frac{3}{4}$