Тест 3, страница 14 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 3

Какое равенство неверно:

а) $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$;

б) $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$;

в) $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$;

г) $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$?

Чтобы определить, какое из равенств неверно, необходимо проверить истинность каждого из предложенных утверждений, используя известные значения тригонометрических функций для стандартных углов.

а) Проверим равенство $sin 30° = \frac{1}{2}$.

Это одно из основных, табличных значений тригонометрических функций. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. По определению, синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, поэтому $sin 30° = \frac{1}{2}$. Равенство верное.

б) Проверим равенство $cos 60° = \frac{1}{2}$.

Это также является табличным значением. Можно проверить его с помощью формулы приведения $cos \alpha = sin(90° - \alpha)$. Применив ее, получаем $cos 60° = sin(90° - 60°) = sin 30°$. Так как из пункта а) мы знаем, что $sin 30° = \frac{1}{2}$, то и $cos 60° = \frac{1}{2}$. Равенство верное.

в) Проверим равенство $tg 45° = 1$.

Тангенс угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике. В случае угла 45° мы имеем дело с равнобедренным прямоугольным треугольником, у которого катеты равны. Если длина каждого катета равна $a$, то $tg 45° = \frac{a}{a} = 1$. Равенство верное.

г) Проверим равенство $sin 45° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Табличное значение синуса 45° равно $sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (или $ \frac{1}{\sqrt{2}} $). Значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ является синусом другого угла — 60°, то есть $sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку $\frac{\sqrt{2}}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$, данное равенство является неверным.

Таким образом, единственное неверное равенство из предложенных находится в пункте г).

Ответ: г)