Номер 9, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

9. В параллелограмме $ABCD$ высота $BH = 12 \text{ см}$ проведена к стороне $AD$, диагонали $AC = 15 \text{ см}$, $BD = 13 \text{ см}$. Найдите площадь параллелограмма, если $AH < AD$.

а) $84 \text{ см}^2$;

б) $96 \text{ см}^2$;

в) $72 \text{ см}^2$;

г) $108 \text{ см}^2$.

Площадь параллелограмма $S_{ABCD}$ вычисляется по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона, а $h$ — высота, проведенная к этой стороне. В данном случае, формула имеет вид $S_{ABCD} = AD \cdot BH$. Высота $BH$ дана и равна 12 см. Нам необходимо найти длину стороны $AD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$, образованный высотой $BH$, диагональю $BD$ и отрезком $HD$ на стороне $AD$. Угол $\angle BHD = 90^\circ$. По теореме Пифагора:

$BD^2 = BH^2 + HD^2$

Подставим известные значения $BD = 13$ см и $BH = 12$ см:

$13^2 = 12^2 + HD^2$

$169 = 144 + HD^2$

$HD^2 = 169 - 144 = 25$

$HD = \sqrt{25} = 5$ см.

Воспользуемся свойством параллелограмма, связывающим его стороны и диагонали: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон (т.е. удвоенной сумме квадратов смежных сторон).

$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$

Подставим известные длины диагоналей $AC = 15$ см и $BD = 13$ см:

$15^2 + 13^2 = 2(AB^2 + AD^2)$

$225 + 169 = 2(AB^2 + AD^2)$

$394 = 2(AB^2 + AD^2)$

$AB^2 + AD^2 = 197$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$AB^2 = AH^2 + 12^2 = AH^2 + 144$

Теперь подставим полученное выражение для $AB^2$ в уравнение $AB^2 + AD^2 = 197$:

$(AH^2 + 144) + AD^2 = 197$

$AH^2 + AD^2 = 197 - 144$

$AH^2 + AD^2 = 53$

Положение точки $H$ на прямой $AD$ зависит от того, является ли угол $\angle A$ острым или тупым. Условие $AH < AD$ помогает нам определить верный случай.

Случай 1: Угол $\angle A$ острый. Точка $H$ лежит между точками $A$ и $D$. В этом случае $AD = AH + HD$. Так как $HD = 5$, то $AD = AH + 5$.

Обозначим $AH = x$. Тогда $AD = x + 5$. Подставим эти выражения в уравнение $AH^2 + AD^2 = 53$:

$x^2 + (x+5)^2 = 53$

$x^2 + x^2 + 10x + 25 = 53$

$2x^2 + 10x - 28 = 0$

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -7$. Так как $AH$ — это длина отрезка, она не может быть отрицательной, поэтому $AH = 2$ см.

Тогда $AD = 2 + 5 = 7$ см.

Проверим условие $AH < AD$: $2 < 7$. Условие выполняется, следовательно, это решение является верным.

Случай 2: Угол $\angle A$ тупой. Точка $A$ лежит между точками $H$ и $D$. В этом случае $AD = HD - AH$. Так как $HD = 5$, то $AD = 5 - AH$.

Обозначим $AH = y$. Тогда $AD = 5 - y$. Подставим в уравнение $AH^2 + AD^2 = 53$:

$y^2 + (5-y)^2 = 53$

$y^2 + 25 - 10y + y^2 = 53$

$2y^2 - 10y - 28 = 0$

$y^2 - 5y - 14 = 0$

Корни этого уравнения: $y_1 = 7$ и $y_2 = -2$. Отрицательный корень не подходит. Значит, $AH = 7$ см.

Однако, в этом случае $AD = 5 - AH = 5 - 7 = -2$ см, что невозможно, так как длина стороны не может быть отрицательной. Также нарушается условие $AH < AD$ ($7 < -2$ — неверно). Значит, этот случай не реализуется.

Таким образом, мы однозначно определили, что длина стороны $AD$ равна 7 см.

Находим площадь параллелограмма:

$S_{ABCD} = AD \cdot BH = 7 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 84 \text{ см}^2$.

Ответ: а) 84 см².